Решите неравенство $\frac{{\log }_2{x}^2-{\log }_3{x}^2}{{\log }_6^2(2x^2-10x+12,5)+1}\ge 0.$

Пример решения № 1

Заметим, что знаменатель левой части представляет собой выражение a2+ 1> 0 при любом a. Следовательно, ОДЗ неравенства:

pict

Получим ОДЗ:

5 x ⁄= 0;2.

Так как знаменатель дроби в левой части на ОДЗ положителен, то на ОДЗ неравенство равносильно

log2x2 − log3x2 ≤ 0.

При 2 x = 1, то есть x = ±1 неравенство равносильно

log21− log31≤ 0 ⇔ 0≤ 0.

Получили верное неравенство, следовательно, x= ±1 являются решением.

При x⁄= ±1 неравенство можно преобразовать к виду:

--1--- --1--- logx22 − logx23 ≤ 0 logx2 3 log-22⋅l2og23-≤ 0 x x

Применим метод рационализации для логарифмов:

2 ( 3 ) -----(x-− 1)-2 −-1----- (x2− 1)(2− 1)(x2− 1)(3 − 1) ≤ 0 -(x−-1)2(x-+1)2 ≤ 0 (x− 1) (x +1)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x−1+−+ 1

Объединим x= ±1 с x ∈ (− 1;1), а затем пересечем с ОДЗ 5 x ⁄=0; 2 и получим:

x∈ [−1;0)∪(0;1].

Ответ: [−1;0)∪(0;1]