Решите неравенство $\frac{25x^2-120x+144}{{\log }_2(4^x-8)-{\log }_2(2^{x+1})}\le 0.$

Пример решения № 1

Область допустимых значений: 4^x−8>0, то есть 2^(2x)>2^3 и x>3/2.

Числитель является полным квадратом: 25x^2−120x+144=(5x−12)^2≥0.

Для исследования знаменателя положим t=2^x>0. Тогда log_2(4^x−8)−log_2(2^(x+1))=log_2((t^2−8)/(2t)).

Знаменатель равен нулю при (t^2−8)/(2t)=1. Получаем (t−4)(t+2)=0, поэтому t=4 и x=2.

На области допустимых значений знаменатель отрицателен при 3/2<x<2 и положителен при x>2.

Дробь неположительна при 3/2<x<2. Кроме того, числитель равен нулю при x=12/5; эта точка допустима и не обращает знаменатель в ноль.

Итог: x∈(3/2;2)∪{12/5}.

Ответ: x∈(3/2;2)∪{12/5}