Решите неравенство $\frac{2}{3^x+27}\ge \frac{1}{3^x-27}$.

Пример решения № 1

Сделаем замену 3x = t и сведем неравенство к виду:

--2-- -1--- t+ 27 ≥ t− 27 2(t− 27)− (t+ 27) --(t+-27)(t−-27)--≥ 0 t− 81 (t+-27)(t−-27) ≥ 0

По методу интервалов:

t−28−+−+7127

Получим:

t∈ (− 27;27)∪ [81;+∞ )

Сделаем обратную замену:

[ −27 <3x <27 81≤ 3x [0< 3x < 33 4 x [3 ≤ 3 x< 3 x≥ 4

Таким образом, подходят

x ∈(−∞; 3)∪[4;+∞ ).

Пример решения № 2

Сделаем замену t = 3^x . Неравенство примет вид: \dfrac{2}{t + 27} \geqslant \dfrac{1}{t - 27}. Преобразуем неравенство: \dfrac{2}{t + 27} - \dfrac{1}{t - 27} \geqslant 0; \dfrac{2(t - 27) - (t + 27)}{(t + 27)(t - 27)} \geqslant 0; \dfrac{2t - 54 - t - 27}{(t + 27)(t - 27)} \geqslant 0; \dfrac{t - 81}{(t + 27)(t - 27)} \geqslant 0. Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов: Изображение 1

Получаем: t \in (-27; 27) \cup [81; +\infty). Сделаем обратную замену: \left[ Решим первое неравенство совокупности: 3^x т.к. 3^x > 0 (выполняется всегда), значит, неравенство -27 также выполняется всегда.

Решим второе неравенство: 3^x \geqslant 81 \;\Leftrightarrow\; 3^x \geqslant 3^4 \;\Leftrightarrow\; x \geqslant 4. Объединяем решения: x \in (-\infty; 3) \cup [4; +\infty) Ответ: (-\infty;3) \cup [4;+\infty) .

Ответ: (− ∞;3)∪ [4;+∞ )