Решите неравенство $\frac{{\log }_5(25x)}{{\log }_{5}x-2}+\frac{{\log }_{5}x-2}{{\log }_5(25x)}\ge \frac{6-{\log }_5{x}^4}{{\log }_5^{2}x-4}$.

Пример решения № 1

Ограничения логарифмов: x > 0.

Воспользуемся свойствами логарифма:

log (25x)= log 25 +log x= 2+ log x. 5 5 5 5

Учтём ограничение x > 0 и преобразуем log5(x4):

(4) log5 x = 4log5|x|= 4log5x.

Сделаем замену t =log5x. Тогда неравенство при x > 0 равносильно:

t+2 t− 2 6 − 4t t− 2-+ t+-2 ≥ t2−-4 2 2 (t+-2)-+-(t−-2)- − 62−-4t-≥ 0 (t− 2)(t+2) t− 4 2t2+-8−-6+-4t- (t− 2)(t+ 2) ≥ 0 2 -2(t+-1)---≥ 0 (t− 2)(t+ 2)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

y−12+−−+ 2

Получаем совокупность:

⌊ |t< −2 ⌈t= −1 t> 2

Сделаем обратную замену:

⌊ log5x< − 2 |⌈log5x= − 1 log5x> 2 ⌊ 1 |log5x< log5 25 || 1 |⌈log5x= log5 5 log5x> log5 25 ⌊ 1 |0 < x< 25 || 1 |⌈x = 5 x > 25

Тогда окончательно получаем:

( ) { } x∈ 0; 1 ∪ 1 ∪(25;+ ∞ ). 25 5

Ответ: ( ) { } 0; 1 ∪ 1 ∪ (25;+ ∞) 25 5