Решите неравенство $\frac{2\cdot 8^{x-1}}{2\cdot 8^{x-1}-1}\ge \frac{3}{8^x-1}+\frac{8}{{64}^x-5\cdot 8^x+4}.$

Пример решения № 1

Сделаем замену t= 8x, t> 0. Тогда получим неравенство:

1 x -2-⋅8 ⋅8-- --3-- ------8------- 2⋅ 1 ⋅8x − 1 ≥ 8x− 1 + (8x)2− 5⋅8x+ 4 8 -t-- --3- ----8---- t− 4 ≥ t− 1 + t2− 5t+ 4

Перенесем всё в одну сторону и приведем дроби к общему знаменателю. Тогда неравенство примет следующий вид:

--t-− --3- − ----8------≥ 0 t− 4 t− 1 (t− 1)(t− 4) t(t − 1)− 3(t− 4)− 8 ---(t−-1)(t−-4)----≥ 0 t2−-t−-3t+-12−-8 (t− 1)(t− 4) ≥ 0 ---(t−-2)2--≥ 0 (t− 1)(t− 4)

Решая данное неравенство методом интервалов при условии, что t >0 :

0124t+−−+

Таким образом, решением будут:

t∈ (0;1)∪ {2} ∪(4;+∞ ).

Сделаем обратную замену:

⌊ |0< t< 1 |⌈t= 2 t> 4 ⌊ 0< 8x <1 ||8x = 2 ⌈ x 8 > 4 ⌊0< 8x <80 || 3x 1 ⌈2 = 2 23x > 22 ⌊x <0 |⌈3x= 1 ⌊3x> 2 x <0 ||| 1 |⌈x = 3 x > 2 3

Таким образом, решением является:

{ } ( ) x ∈(−∞; 0)∪ 1 ∪ 2;+∞ . 3 3

Ответ: { } ( ) (−∞; 0)∪ 1 ∪ 2;+∞ 3 3