Задание 63 из 63Показательные неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство .
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: FFCBEB
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Пусть t= 3x > 0. Тогда неравенство примет следующий вид:
-243-- t+ t− 84 ≤ 0
Приведем слагаемые к общему знаменателю:
t(t−-84)+ -243-≤ 0 t− 84 t− 84 t(t−-84)+-243- t− 84 ≤ 0 2 t-−-84t+243 ≤ 0 t− 84
Найдём корни уравнения t2− 84t+ 243= 0:
D = (−84)2− 4⋅243 = 22⋅32(142− 27) = 782 t1 = 84+-78 = 81, t2 = 84−-78= 3 2 2
Из этого получаем:
(t−-81)(t− 3) ≤ 0 t− 84
Решим полученное неравенство методом интервалов:
t388−+−+14
Тогда решением неравенства будет совокупность:
[ 81≤ t< 84 t≤ 3 [ 4 x log384 3x≤ 31< 3 [3 ≤ 3 4≤ x <log384 x≤ 1
Таким образом, получим x∈ (−∞; 1]∪ [4;log384).
Ответ: (−∞; 1]∪[4;log384)
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Показательные неравенстваРешите неравенство ≤FIPI ID 160E7EПоказательные неравенстваРешите неравенство (11)−6−≤…FIPI ID 259766Показательные неравенстваРешите неравенство ((8)^(x+)−9⋅(4)^(x+)+13⋅(2)−13)/((4)^(x+)−9⋅(2)^…FIPI ID 3416BFПоказательные неравенстваРешите неравенство ≥FIPI ID 483E44Показательные неравенстваРешите неравенство ≤0.FIPI ID 4F4FA2Показательные неравенстваРешите неравенство ≥0.FIPI ID 62020B