Решите неравенство $\frac{{15}^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^2+2x}\ge 0$.

Пример решения № 1

Рассмотрим числитель дроби:

15x− 3x+1− 5x+1 +15 = = 3x⋅5x− 3⋅3x− 5⋅5x+ 15= = 3x(5x− 3)− 5(5x− 3)= = (5x − 3)(3x− 5)

Следовательно, домножив обе части неравенства на (− 1) и сменив знак неравенства на противоположный, мы можем неравенство переписать в виде:

x x (5-−-32)(3-−-5)≤ 0 x − 2x (5x-− 5log53)(3x−-3log35)≤ 0 x(x− 2)

Решим данное неравенство методом рационализации:

(5−-1)(x-−-log53)(3-− 1)(x−-log35)≤ 0 x(x− 2) (x-−-log53)(x-− log35) x(x− 2) ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x0ll2+−+−+oogg 35 53

Таким образом, ответ:

x∈ (0;log 3]∪ [log 5;2) 5 3

Пример решения № 2

Преобразуем числитель: 15^x - 3^{x+1} - 5^{x+1} + 15 = 3^x\cdot 5^x - 3\cdot 3^x - 5\cdot 5^x + 15 = Неравенство принимает следующий вид: \frac{(3^x - 5)(5^x - 3)}{x(2 - x)} \geqslant 0; \frac{(3^x - 3^{\log_{3}{5}})(5^x - 5^{\log_{5}{3}})}{x(2 - x)} \geqslant 0. Воспользуемся методом рационализации. Так как 3 > 1 и 5 > 1 , то получаем: \dfrac{(x - \log_{3}{5})\cdot (x - \log_{5}{3})}{x(2 - x)} \geqslant 0. Воспользуемся методом интервалов для решения полученного неравенства: Изображение 1

x \in (0; \log_5 3] \cup [\log_3 5; 2). Ответ: (0;\log_5 3] \cup [\log_3 5;2) .

Ответ: (0;log53]∪[log35;2)