Решите неравенство ${\log }_8(x^3-3x^2+3x-1)\ge {\log }_2(x^2-1)-5.$

Пример решения № 1

Запишем ограничения:

( { x3− 3x2 +3x − 1 > 0 ( 2 x − 1> 0 ({ 3 (x − 1) > 0 ( (x − 1)(x+ 1)> 0 ( |||{ x⌊> 1 x> 1 |||( ⌈ x< − 1

Получаем ограничение x >1.

При x> 1 исходное неравенство равносильно:

( 3 2 ) ( 2 ) log23 x − 3x +3x − 1 ≥log2 x −( 1 − log)232 1 3 2 x2-− 1 3 log2(x − 3x + 3x− 1)≥ log2 32 1 ( x2−-1) 3 ⋅3log2(x− 1)≥ log2 32 ( x2− 1) log2(x− 1)≥ log2 -32--

Перейдём к неравенству для подлогарифмических выражений:

x2−-1 x − 1≥ 32 32(x-− 1)−-(x2−-1) 32 ≥ 0 32x−-32−-x2+-1 32 ≥ 0 −x2+ 32x− 31≥ 0 2 x − 32x+ 31≤ 0 (x − 1)(x− 31)≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x13+−+1

С учётом ограничения x > 1 получим:

x ∈(1;31].

Пример решения № 2

Заметим, что x^3-3x^2+3x-1 = (x-1)^3. Найдём ОДЗ: \begin{cases} Преобразуем левую часть неравенства: \log_8{(x-1)^3} = \log_{2^3}(x-1)^3= \dfrac{1}{3}\cdot 3 \cdot \log_2(x-1)=\log_2(x-1). Неравенство принимает вид: \log_2(x-1) \geqslant \log_2(x^2-1)-5; \log_2(x^2-1) - \log_2(x-1) \leqslant 5; \log_2 \dfrac{x^2-1}{x-1} \leqslant 5; \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} \leqslant 32; x+1 \leqslant32; x \leqslant31. С учётом ОДЗ получаем окончательный ответ: x \in (1;31]. Ответ: (1;31] .

Ответ: (1;31]