Решите неравенство $\frac{{\log }_4(16x^4)+11}{{\log }_4^{2}x-9}\ge -1$.

Пример решения № 1

Запишем ограничение x> 0.

Воспользуемся свойством логарифма и преобразуем ( ) log4 16x4 :

log (16x4)= log (2x)4 = 4log |2x|. 4 4 4

С учётом ограничения x> 0 опустим модуль и получим:

4log |2x|=4 log (2x) = 4(log 2+ log x)= 4 ( 4 ) 4 4 = 4 1 + log4x = 2+ 4log4x. 2

Сделаем замену t =log x. 4 Тогда получим неравенство:

2+24t+11-≥ −1 t− 9 4t+-13+ 1 ≥0 t2 − 9 4t+-13+-t2−-9- t2− 9 ≥ 0 t2+ 4t+ 4 -t2−-9--≥ 0 --(t+-2)2--≥ 0 (t− 3)(t+ 3)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

t−−3+−−+32

Получаем t ∈(−∞; −3)∪ {−2}∪ (3;+∞ ). Сделаем обратную замену и учтем, что x> 0:

( ⌊ |||x > 0 t< −3 ||{⌊log4x< −3 |⌈ t= −2 ⇔ || ⇔ t> 3 |||||⌈log4x= −2 ( log4x> 3

( ( || x> 0 ||||{x⌊ >0 −3 ||||{ ⌊x< -1 ⇔ |log4x< log44 ⇔ || 64 |||||⌈log4x= log44−2 |||| |⌈x= -1 ( log4x> log443 ||( 16 x> 64

Таким образом, ( ) { } 1- -1 x ∈ 0;64 ∪ 16 ∪ (64;+∞ ).

Ответ: ( ) { } 0;-1 ∪ -1 ∪ (64;+∞ ) 64 16