Задание 24 из 63Показательные неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 62020B
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Преобразуем выражение, стоящее в числителе, используя формулу куба разности:
3⋅27x− 9x+1 +3x+2− 3= x 3 x 2 x =(3 ⋅(3 ) − 9⋅(3) + 9⋅3 − 3= ) =3 ⋅ (3x)3− 3⋅(3x)2⋅1+ 3⋅3x⋅12− 13 = x 3 (x 0)3 = 3⋅(3 − 1) =3 ⋅3 − 3 .
Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе, используя формулу квадрата разности:
2 50(x − 30x +4,5= ) = 0,5⋅ 100x2− 60⋅x+ 9 = = 0,5 ⋅(10x− 3)2.
Перепишем неравенство:
3 ⋅(3x − 30)3 0,5⋅(10x−-3)2 ≥ 0 ( ) 3x-− 30-3- (10x− 3)2 ≥ 0
Используем метод рационализации:
(3− 1)3(x − 0)3 ----------2--≥ 0 (10x− 3) --8x3--- (10x− 3)2 ≥ 0 3 ---x---2 ≥ 0 (10x− 3)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
x0−++3- 10
Получаем ответ:
[ 3-) ( 3- ) x∈ 0;10 ∪ 10 ;+ ∞ .
Ответ: [ ) ( ) 0;-3 ∪ -3;+∞ 10 10
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Показательные неравенстваРешите неравенство ≤FIPI ID 160E7EПоказательные неравенстваРешите неравенство (11)−6−≤…FIPI ID 259766Показательные неравенстваРешите неравенство ((8)^(x+)−9⋅(4)^(x+)+13⋅(2)−13)/((4)^(x+)−9⋅(2)^…FIPI ID 3416BFПоказательные неравенстваРешите неравенство ≥FIPI ID 483E44Показательные неравенстваРешите неравенство ≤0.FIPI ID 4F4FA2Показательные неравенстваРешите неравенство 12−8−2⋅6+3⋅4+32⋅3−2≤0.FIPI ID 66CF9D