Решите неравенство $\frac{{27}^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27}{50x^2-110x+60,5}\ge 0.$

Пример решения № 1

Преобразуем выражение, стоящее в числителе, используя формулу куба разности:

27x− 9x+1+ 3x+3 − 27 = x 3 x 2 x 2 3 = (3 ) − 3⋅(3) ⋅3+( 3⋅3 ⋅3) − 3 = = (3x− 3)3 = 3x− 31 3.

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе, используя формулу квадрата разности:

50x2− 110x +60,5= ( ( )2) = 50⋅ x2− 22⋅x+ 11 = 10 10 ( )2 = 50⋅ x − 11- . 10

Перепишем неравенство:

( x 1)3 ---3(-−-3--)2 ≥ 0. 50 ⋅ x− 11 10

Используем метод рационализации:

(3-−-1)3⋅(x−-1)3 ( 11)2 ≥ 0 50⋅ x− 10 3 -8-⋅((x-− 1))2-≥ 0 50⋅ x− 11 10 (x − 1)3 (------)2 ≥0 x − 11 10

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x1−++11- 10

Получаем ответ:

[ ) ( ) x∈ 1; 11 ∪ 11-;+ ∞ . 10 10

Ответ: [ ) ( ) 1; 11 ∪ 11;+∞ 10 10