Решите неравенство $\frac{{\log }_2(4x^2)+35}{{\log }_2^{2}x-36}\ge -1$.

Пример решения № 1

Запишем ограничение x> 0.

Воспользуемся свойством логарифма и преобразуем ( ) log2 4x2 :

log (4x2) =log (2x)2 = 2log (2x)= 2 2 2 = 2(log22+ log2x) =2 (1 +log2x)= 2+ 2log2x

Сделаем замену t =log x. 2 Тогда получим неравенство

2+ 2t+35 -t2−-36--≥ −1 2t2+-37+ 1 ≥0 t − 36 2t+-37+-t2-− 36 t2− 36 ≥ 0 t2+ 2t+ 1 -t2− 36-≥ 0 2 --(t+-1)---≥ 0 (t− 6)(t+ 6)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

t−−6+−−+61

Получаем t ∈(−∞; −6)∪ {−1}∪ (6;+∞ ). Сделаем обратную замену и учтём, что x> 0:

( || x> 0 |||{ ⌊log2x < −6 || ||||| ⌈log2x = −1 ( log2x > 6 ( ||||{ x⌊> 0 −6 |log2x < log22 |||| |⌈log2x = log22−1 ( log2x > log226 (| |||| x⌊> 0 1 |{ |x< 64- || ||x= 1 |||| ⌈ 2 ( x> 64

Таким образом, ( 1 ) {1 } x ∈ 0;64 ∪ 2 ∪ (64;+∞ ).

Пример решения № 2

Для существования левой части неравенства необходимо выполнение условия x > 0 .

Преобразуем неравенство с помощью формулы логарифма произведения: \dfrac{\log_{2}{4} + \log_2 x^2 + 35}{\log_2^2 x - 36} \geqslant -1. Так как x > 0 , то \dfrac{2\log_2 x + 37}{\log_2^2 x - 36} \geqslant -1. Сделаем замену \log_2 x = t : \dfrac{2t + 37}{t^2 - 36} \geqslant -1; \dfrac{2t + 37}{t^2 - 36} + 1 \geqslant 0; \dfrac{2t + 37 + t^2 - 36}{t^2 - 36} \geqslant 0; \dfrac{t^2 + 2t + 1}{t^2 - 36} \geqslant 0; \dfrac{(t+1)^2}{(t-6)(t+6)} \geqslant 0. Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов: Изображение 1

Получаем: t \in (-\infty; -6) \cup \{-1\} \cup (6; +\infty). Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностью логарифма: \left[ Получаем: x\in\left(0;\dfrac{1}{64}\right) \cup \left\{\dfrac{1}{2}\right\} \cup (64;+\infty) . Изображение 2

Ответ: \left(0;\dfrac{1}{64}\right) \cup \left\{\dfrac{1}{2}\right\} \cup (64;+\infty) .

Ответ: ( ) { } 0;-1 ∪ 1 ∪ (64;+∞ ) 64 2