Решите неравенство $\frac{8x^3-4x^2-2x+1}{{16}^{x^2}-4\cdot 4^{x^2}+4}\le 0.$

Пример решения № 1

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

8x3− 4x2− 2x + 1= 3 2 = (2x) − (2x) − 2x+ 1= = (2x)2(2x − 1) − (2x− 1)= = (2x− 1)⋅((2x)2− 1) = 2 = (2x− 1) ⋅(2x + 1).

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

x2 x2 16 − 4⋅4 + 4= = (42)x2 − 4⋅4x2 + 4= ( 2)2 2 ( 2 )2 = 4x − 2⋅4x ⋅2+ 22 = 4x − 2 .

Перепишем неравенство:

(2x−-1)2⋅(2x+-1) (4x2 − 2)2 ≤ 0.

Так как ( )2 4x2 − 2 ≥ 0, то неравенство равносильно системе:

( { (2x− 1)2 ⋅(2x+ 1)≤ 0 ( x2 )2 ( 4 − 2 ⁄= 0

Решим первое неравенство системы методом интервалов:

11 x−−++22

Получим, что

( ] { } x∈ − ∞;− 1 ∪ 1 . 2 2

Решим второе неравенство системы:

( ) 4x2 − 2 2 ⁄= 0 2 4x − 2 ⁄= 0 4x2 ⁄= 2 2x2 1 2 ⁄= 2 2x2 ⁄= 1 1 x2 ⁄= 2 x ⁄= ±√1- 2

Тогда система примет вид:

( ( 1] {1 } |{ x∈ − ∞;− 2 ∪ 2 | -1- ( x⁄= ± √2

Получаем ответ:

√- √- ( -2-) ( -2- 1] {1} x∈ − ∞;− 2 ∪ − 2 ;− 2 ∪ 2 .

Ответ: ( √ -) ( √ - ] { } −∞; −--2 ∪ − --2;− 1 ∪ 1 2 2 2 2