Задание 21 из 63Логарифмические неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство .
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 517890
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Найдем ОДЗ:
x2− 9> 0 2 x > 9 x∈ (−∞; −3)∪(3;+∞ )
Сделаем замену t =log (x2− 9) . 2 Тогда неравенство примет вид:
2 t − 9t+20 ≥0 (t− 5)(t− 4)≥ 0 t∈ (− ∞;4]∪ [5;+∞ )
Тогда сделаем обратную замену. Решением будет являться совокупность неравенств:
[ ( ) log2 x2− 9 ≤ 4 log2(x2− 9)≥ 5 [ ( 2 ) log2(x2− 9)≤ log216 [log2 x − 9 ≥ log232 0< x2− 9≤ 16 x2− 9≥ 32 [ 2 9< x ≤ 25 x2 ≥ 41 [x∈ [− 5;− 3)∪(3;5] x∈ (−∞; −√41]∪ [√41;+∞ )
Таким образом, получаем:
( √--] [√-- ) x ∈ −∞; − 41 ∪ [− 5;− 3)∪(3;5]∪ 41;+∞ .
Ответ: ( √ --] [√ -- ) −∞; − 41 ∪[−5;−3)∪ (3;5]∪ 41;+∞
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Логарифмические неравенстваРешите неравенство −≥log_(3)()FIPI ID 000E35Логарифмические неравенстваРешите неравенство (log_(0,25)(x+3)−+1)⋅≤0.FIPI ID 005232Логарифмические неравенстваРешите неравенство x ≥.FIPI ID 024079Логарифмические неравенстваРешите неравенство log_(2)(25−(x))−7+12≥0FIPI ID 09B4F9Логарифмические неравенстваРешите неравенство +log_(5)(+1)≥FIPI ID 15664CЛогарифмические неравенстваРешите неравенство +≥(6−…FIPI ID 1AE932