Задание 25 из 63Логарифмические неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство .
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 656233
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Найдём ОДЗ:
({x +7 > 0 (x2+ 14x+ 49> 0 ({ x +7 > 0 ((x+ 7)2 > 0 ({ x > −7 (x ⁄= −7 x > −7
Решим неравенство на ОДЗ:
x2log9(x+ 7)− 2log |x+ 7|≤0 2 2
Преобразуем неравенство с учетом условия x+ 7> 0 :
x2 log (x + 7) − 2 log (x +7)≤ 0 9 ( 2 ) 2 x2− 2 log(x +7)≤ 0 (9 ) 2 x2 − 18 log2(x+ 7)≤ 0
Применив метод рационализации для логарифма, получим:
(x2− 18)(2− 1)(x +7 − 1)≤ 0 (x2− 18)(x+ 6)≤ 0 ( √ --)( √ -) x − 18 x+ 18 (x +6) ≤0
Решим полученное неравенство методом интервалов:
√√ - x−−3−+−+632 2
Получаем [ √- √-] x ∈ (− ∞;− 6]∪ −3 2;3 2 .
Тогда, учитывая ОДЗ, ответом будет [ √- √-] x ∈(−7;−6]∪ − 3 2;3 2 .
Ответ: [ √- √-] (−7;−6]∪ − 3 2;3 2
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Логарифмические неравенстваРешите неравенство −≥log_(3)()FIPI ID 000E35Логарифмические неравенстваРешите неравенство (log_(0,25)(x+3)−+1)⋅≤0.FIPI ID 005232Логарифмические неравенстваРешите неравенство x ≥.FIPI ID 024079Логарифмические неравенстваРешите неравенство log_(2)(25−(x))−7+12≥0FIPI ID 09B4F9Логарифмические неравенстваРешите неравенство +log_(5)(+1)≥FIPI ID 15664CЛогарифмические неравенстваРешите неравенство +≥(6−…FIPI ID 1AE932