Задание 62 из 63Логарифмические неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство .
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: E0F447
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Запишем ограничения логарифмов:
(| 2 |||{ x + 2 >0 x+ 3> 0 |||| x+ 6 ( -x2-->0 (| x+-1- |||{ x >0 x> −3 |||| x+ 6 ( -x2-->0 (| [x> 0 |||| ||{ {x< −1 | x ⁄=0 ||||| x >− 6 |( x> −3
−−−0x 631
Получаем:
x∈ (−3;−1)∪ (0;+∞ ).
Преобразуем исходное неравенство на ограничении:
( ) ( ) log5 -2+-2x- ≤ log5 x+26- x(x+ 3) x -2-+2x- x+-6- x (x + 3) ≤ x2
Приведем к общему знаменателю:
x(2+ 2x) (x+ 6)(x + 3) x2(x+-3) −--x2(x+-3)--≤ 0 2x2+-2x−-x2−-3x−-6x−-18 x2(x+ 3) ≤0 x2−-7x−-18≤ 0 x2(x+ 3) (x+22)(x-−-9)-≤ 0 x (x+ 3)
По методу интервалов:
−−09x+−−+− 32
Пересечем полученные значения x с ограничениями логарифмов:
−−−09x 321
Итого:
x ∈[−2;−1)∪ (0;9].
Ответ: [−2;−1)∪ (0;9]
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Логарифмические неравенстваРешите неравенство −≥log_(3)()FIPI ID 000E35Логарифмические неравенстваРешите неравенство (log_(0,25)(x+3)−+1)⋅≤0.FIPI ID 005232Логарифмические неравенстваРешите неравенство x ≥.FIPI ID 024079Логарифмические неравенстваРешите неравенство log_(2)(25−(x))−7+12≥0FIPI ID 09B4F9Логарифмические неравенстваРешите неравенство +log_(5)(+1)≥FIPI ID 15664CЛогарифмические неравенстваРешите неравенство +≥(6−…FIPI ID 1AE932