Решите неравенство $\frac{4^x-3\cdot 2^{x+1}+4}{2^x-5}+\frac{3\cdot 2^{x+1}-46}{2^x-8}\le 2^x+5.$

Пример решения № 1

Пусть t= 2x > 0. Тогда неравенство примет следующий вид:

t2 − 6t+ 4 6t− 46 --t−-5---+ t−-8--≤ t+5.

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем их к общему знаменателю:

t2−-6t+-4- 6t−-46 t− 5 + t− 8 − t− 5≤ 0 (t2− 6t+ 4)(t− 8)+(6t− 46)(t− 5)− (t+ 5)(t− 5)(t− 8) ------------------(t−-5)(t−-8)------------------≤ 0 t3−-14t2+-52t−-32-+6t2−-76t+-230-− (t2−-25)(t− 8) ≤ 0 (t− 5)(t− 8) t3− 8t2− 24t+ 198− (t3− 8t2− 25t+ 200) ------------(t−-5)(t−-8)------------≤ 0 t3−-8t2-− 24t+-198−-t3+-8t2+-25t−-200 ≤0 (t− 5)(t− 8) t − 2 (t−-5)(t−-8) ≤ 0.

Решим полученное неравенство методом интервалов:

t258−+−+

Тогда решением неравенства будет совокупность:

[ t≤ 2 [5 <t <8 2x ≤21 2log25 < 2x < 23 [ x ≤ 1 log25< x< 3

Таким образом, получим x∈ (−∞; 1]∪ (log25;3).

Ответ: (−∞; 1]∪(log25;3)