Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 6млн рублей.

Пример решения № 1

Пусть S млн. рублей — размер кредита, x млн. рублей — выплата в конце 4-го и

5-го годов. Так как в конце 1-го, 2-го, 3-го годов размер долга не менялся, то в эти

годы выплачивали только проценты по кредиту.

Составим следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все

вычисления ведутся в млн. рублей):

|----|-------------|-------------|-----------|--------------|

|Год | Долг до | Д олг после | Выплата, | Долг после |

| |начисления %, |начисления %, |млн. рублей| вы платы, |

|----|-млн. рублей-|-млн. рублей-|-----------|-млн.-рублей---|

|-1--|-----S-------|----1,1S------|---0,1S-----|------S-------|

|-2--|-----S-------|----1,1S------|---0,1S-----|------S-------|

|-3--|-----S-------|----1,1S------|---0,1S-----|------S-------|

|-4--|-----S-------|----1,1S------|----x------|---1,1S-−-x----|

--5------1,1S-− x-----1,1(1,1S−-x)-------x-------1,1(1,1S−-x)−-x-|

Так как кредит полностью погашен в конце 5-го года, сумма долга после

выплаты в конце 5-го года равна нулю, получаем уравнение:

1,1(1,1S − x)− x = 0

Выразим x:

1,1(1,1S − x)− x = 0

1,21S − 1,1x− x= 0

1,21S = 2,1x

1,21S 121S

x= 2,1 = 210

Найдем общую сумму выплат, которая должна быть меньше 6 млн.

Ответ: 4 000 000 рублей