15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы: $-$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; $-$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; $-$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; $-$ к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысячи рублей?

Пример решения № 1

Пусть S тыс рублей - сумма, которую планируется взять в кредит. Пусть

k = -r-= -3-.

100 100

Так как в течение всего срока кредита долг уменьшается на одну и

ту же сумму, то каждый год выплачивается одинаковая часть долга и

начисленные проценты. В последний месяц выплачивается вся оставшаяся

сумма.

Составим таблицу (все вычисления в тыс. рублей):

|------|-------------|-------------------------------|-----------------------|----------|

|Месяц | Долг до | Долг после | Выплата |Д олг после

|------|начисления %-|----------начисления %----------|-----------------------|-вы-платы--|

|--1---|-----S-------|------------S-+k-⋅S------------|--------30+-k⋅S--------|--S-−-30--|

|--2---|---S-−-30----|-------S-−-30+-k⋅(S−-30)-------|-----30+-k⋅(S-− 30)----|-S-−-2⋅30-|

|--3---|--S-−-2⋅30---|-----S-−-2⋅30+-k⋅(S−-2⋅30)-----|----30+-k⋅(S-− 2-⋅30)---|-S-−-3⋅30-|

|--...--|-----...------|---------------...--------------|-----------...----------|----...----|

|--m---|S−-(m-−-1)⋅30-|S-− (m-−-1)⋅30+-k⋅(S−-(m−-1)⋅30)--30-+k-⋅(S-−-(m-−-1)⋅30)-|-S-− m-⋅30|

|--...--|-----...------|---------------...--------------|-----------...----------|----...----|

|-2201---|--SS−−-1290⋅⋅3300---|----SS-−−-1290⋅⋅3300++-kk⋅⋅((SS−−-1290⋅⋅3300))----|S-−-3200+⋅3k0⋅+(Sk−⋅(1S9−⋅3200)⋅30)|-S−-200⋅30-|

-----------------------------------------------------------------------------------------

Заметим, что с 1 по 20 месяц выплата меняется как арифметическая

прогрессия, сумму выплат найдём по формуле суммы арифметической прогрессии.

В 21 месяце выплатили весь оставшийся долг.

Тогда общая сумма равна

30+-k⋅S-+-30-+k-⋅(S-−-19⋅30)

Ответ: 1 100 000 рублей