Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t=1;2;\dots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 25%.
В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Пример решения № 1

Каждый год банк увеличивает сумму на счету на 25%, то есть в 1,25 раза. Если же

фонд все еще держит ценные бумаги, то их цена после t -ого года увеличивается

(t+ 1)2 (t+ 1)2 ( 1)2

--t2-- = --t- = 1+ t раз.

Этот коэффициент уменьшается с ростом t. Значит, если при каком-то t он

стал меньше 1,25, то в каждый следующий год, начиная с (t+ 1) -ого, вклад в

банке будет приносить большую прибыль. В то же время до (t+1) -ого года

ценные бумаги будут приносить большую прибыль.

Значит, нам нужно найти такое значение t, при котором

2 2

(t+-1) ≤ 1,25 То есть нужно найти такой год, после которого ценные бумаги вырастут больше

чем в 1,25 раза, но после следующего — меньше чем в 1,25 раза.

Заметим, что

92 = 81 = 1,265625 > 1,25

8 64

Но уже 2

10- 100.

Таким образом,

102 92

92 Значит, ценные бумаги нужно продать в конце 9-ого года.

Ответ: 9