Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t=1;2;\dots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в $1+r$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы
в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

Пример решения № 1

Каждый год банк увеличивает сумму на счету в (1+ r) раз. Если же фонд

всё еще держит акции, то их цена в конце t− ого года увеличивается

(t+ 1)2 (t +1)2 ( 1)2

--t2---= --t- = 1+ -t раз.

Этот коэффициент уменьшается с ростом t. Значит, если при каком-то t он

стал меньше (1+ r), то в каждый следующий год, начиная с (t+ 1)− го, вклад в

банке будет приносить большую прибыль. В то же время до (t+ 1)− го года акции

будут приносить большую прибыль.

По условию задачи, если продать акции в конце двадцать первого года, то

прибыль будет наибольшей. Это означает, что в конце двадцать первого года

коэффициент увеличения стоимости акций стал меньше (1 +r) и поэтому

нужно продавать ценные бумаги, а в конце двадцатого коэффициент роста

акций был больше, чем (1+ r). Значит, нам нужно найти такие r, при

которых

(t+1)2 t2

--t2-- Решим полученное двойное неравенство при t= 21 :

( 2

||| (21+-1)- 1+ r

( 484

||{ 441-− 1 r

( 400 43

||{r > 441-

|(r Таким образом, это возможно при ( )

r ∈ 43-; 41 .

Ответ: ( ) r ∈ 43-; 41 441 400