Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t=1;2;\dots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в $1+r$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы
в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце девятого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

Пример решения № 1

Каждый год банк увеличивает сумму на счету в (1+ r) раз. Если же фонд

всё еще держит акции, то их цена в конце t− ого года увеличивается

(t+ 1)2 (t +1)2 ( 1)2

--t2---= --t- = 1+ -t раз.

Этот коэффициент уменьшается с ростом t. Значит, если при каком-то t он

стал меньше (1+ r), то в каждый следующий год, начиная с (t+ 1)− го, вклад в

банке будет приносить большую прибыль. В то же время до (t+ 1)− го года акции

будут приносить большую прибыль.

По условию задачи, если продать акции в конце девятого года, то прибыль

будет наибольшей. Это означает, что в конце девятого года коэффициент

увеличения стоимости акций стал меньше (1+ r) и поэтому нужно продавать

ценные бумаги, а в конце восьмого года коэффициент роста акций был больше, чем

(1+ r). Значит, нам нужно найти такие r, при которых

2 2

(t+t12)- Решим полученное двойное неравенство при t= 9:

|| (9+-1)2- 1+ r

( 100

||{ 81-− 1 r

( 64

||{ r > 19

||( r Таким образом, это возможно при ( )

r ∈ 19; 17 .

81 64

Ответ: 81 64