Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^{2}$ тыс. рублей в конце года $t$ ( $t = 1; 2; \dots$ ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в $1 + r$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы
в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце девятого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?Ответ запишите открытым интервалом; для записи дробей используйте знак /.

Ответ:

Показать ответ

Ответ: (19/81;17/64)

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Составьте график изменения долга или капитала по периодам, выразите каждый платёж через исходную сумму и аккуратно учтите начисление процентов.

Ключевая идея: Разделить начисление процентов и платёж во времени, записать остатки по условию и сложить платежи только после построения модели..

Пошаговый разбор

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Текстовая версия решения

При продаже в конце года k итоговая сумма равна k²(1 + r)^(20 − k).

Чтобы единственный максимум приходился на год 9, нужно превосходить оба соседних результата: (10/9)² < 1 + r < (9/8)².

Вычитаем единицу и получаем 19/81 < r < 0,265625. На границах два соседних года дают одинаковый результат, поэтому границы не включаются.

Отношение результатов соседних лет монотонно уменьшается, поэтому эти условия обеспечивают максимум среди всех лет.

Ответ: (19/81;17/64).

Ответ: (19/81;17/64)

Теория

Правила и свойства для этого типа задач

Самопроверка

На что обратить внимание перед ответом

Алгоритм

Короткий контрольный список перед ответом

Тренировка

Ещё задачи линии №13

Навигация

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ