Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов внеделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300рублей. Вадим готов выделять 1200000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю наэтих двух заводах?

Пример решения № 1

Пусть при оптимальном распределении рабочего времени между заводами рабочие

первого трудятся a2 часов, а второго — b2 часов, производя неотрицательные

a и b единиц товара соответственно. Тогда получим уравнение, отражающее

затраты Вадима на оплату труда:

200a2+ 300b2 = 1200000

200a2 = 1200000− 300b2

2 2

a =∘6000−-1,5b--

a= 6000− 1,5b2

Тогда необходимо найти максимум функции ∘ ---------2

f(b)= b+ 6000− 1,5b на ОДЗ.

Найдем ОДЗ:

6000 − 1,5b ≥ 0

6000≥ 1,5b2

4000≥ b2

[ √-- √ --]

b∈ −20 10;20 10

Так как a и b — неотрицательные, то [ √ -]

b∈ 0;20 10 . Для поиска

максимума функции найдем ее производную:

∘ ----------

f(b)= b+ 6000− 1,5b2

f′(b) =1 − -∘---3b------

2 6000− 1,5b2

Ответ: ственно. Тогда получим уравнение, отражающее