Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов внеделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300рублей. Вадим готов выделять 1200000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю наэтих двух заводах?

Пример решения № 1

Пусть первый завод выпускает a, а второй — b единиц товара в неделю. Тогда требуется a² и b² часов работы соответственно; a ≥ 0, b ≥ 0.

Затраты на оплату труда составляют 200a² + 300b² рублей. По условию 200a² + 300b² ≤ 1 200 000. Требуется найти наибольшее значение a + b.

Заметим, что 200a² + 300b² − 120(a + b)² = 20(2a − 3b)² ≥ 0. Поэтому 120(a + b)² ≤ 200a² + 300b² ≤ 1 200 000.

Получаем (a + b)² ≤ 10 000. Поскольку a и b неотрицательны, a + b ≤ 100. Таким образом, произвести больше 100 единиц товара невозможно.

Проверим достижимость этой границы. Равенство возможно при 2a = 3b. Вместе с a + b = 100 получаем a = 60 и b = 40.

На первом заводе потребуется 60² = 3600 часов, на втором — 40² = 1600 часов. Затраты: 200 · 3600 + 300 · 1600 = 720 000 + 480 000 = 1 200 000 рублей. Бюджет соблюдён.

Максимальный выпуск за неделю равен 60 + 40 = 100 единицам товара. Ответ: 100.

Ответ: 100