В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: $-$ каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; $-$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; $-$ в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

Пример решения № 1

Пусть n — число лет, на которое был взят кредит. Пусть S = 5 млн. рублей. По

условию задачи долг уменьшался на одну и ту же сумму. Это значит, что каждый

год после выплаты размер долга по кредиту становился меньше на S-

n по

сравнению с предыдущим годом.

Составим следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все

вычисления ведутся в млн. рублей):

|----|------------|--------------|-----------------|----------|

|Год | Д олг до | Долг после | Выплата, |Долг после |

| |начисления %,| начисления %, | млн. рублей | выплаты, |

|----|м-лн. рублей-|-м-лн. рублей--|-----------------|млн. рублей

| 1 | S | 1,2S | 0,2S + S- | S − S- |

|----|------------|--------------|----------n------|------n---|

| | S | ( S) | ( S) S | S |

| 2 | S − n- | 1,2 S − n- | 0,2 S − n- + n- | S − 2 ⋅n |

|----|------------|---(-------)--|--(--------)-----|----------|

| 3 | S− 2 ⋅ S |1,2 S − 2 ⋅ S |0,2 S − 2⋅ S + S- | S − 3 ⋅ S|

|----|--------n---|----------n---|---------n----n--|-------n--|

|...--|-----...-----|------...------|-------...--------|----...----|

| | S- | S- | S- S- | |

| n | n | 1,2 ⋅n | 0,2 ⋅n + n | 0 |

---------------------------------------------------------------

Таким образом, общая сумма выплат составляет:

( S) ( ( S-) S-) ( ( S-) S-) ( S- S)

Ответ: 4