В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: $-$ каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; $-$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; $-$ в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?

Пример решения № 1

Пусть n — число лет, на которое был взят кредит. Пусть S = 10 млн. рублей. По

условию задачи долг уменьшался на одну и ту же сумму. Это значит, что каждый

год после выплаты размер долга по кредиту становился меньше на S-

n по

сравнению с предыдущим годом.

Составим следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все

вычисления ведутся в млн. рублей):

|----|------------|--------------|-----------------|----------|

|Год |начДисоллгендиоя %,| нДачоилсглепносиляе %, Выплата, Долг после

| |м лн. рублей | м лн. рублей | |млн. рублей

|----|------------|--------------|----------S------|------S---|

| 1 | S | 1,1S | 0,1S + n- | S − n- |

|----|------------|----(-----)---|---(-----)-------|----------|

| 2 | S − S- | 1,1 S − S- | 0,1 S − S- + S- | S − 2 ⋅ S|

|----|-------n----|---------n----|--------n----n---|-------n--|

| | S | ( S) | ( S ) S | S |

| 3 | S− 2 ⋅n- |1,1 S − 2 ⋅n |0,1 S − 2⋅n- + n- | S − 3 ⋅n |

|...--|-----...-----|------...------|-------...--------|----...----|

|----|------------|--------------|-----------------|----------|

| n | S- | 1,1 ⋅ S | 0,1 ⋅ S-+ S | 0 |

-----------n---------------n-------------n---n-----------------

Таким образом, общая сумма выплат составляет:

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )

0,1S + S- + 0,1 S− S- + S- + 0,1 S − 2⋅ S + S- ...+ 0,1S-+ S- =

Ответ: 9