Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $(0, 5 x^{2} + 2 x + 6)$ млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $p x - (0, 5 x^{2} + 2 x + 6)$ . Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не больше чем за 3 года?В ответ запишите значение $p$ в тысячах рублей за единицу продукции.

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 10

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Составьте график изменения долга или капитала по периодам, выразите каждый платёж через исходную сумму и аккуратно учтите начисление процентов.

Ключевая идея: Разделить начисление процентов и платёж во времени, записать остатки по условию и сложить платежи только после построения модели..

Пошаговый разбор

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Текстовая версия решения

Прибыль равна px − (0,5x² + 2x + 6) = −0,5(x − (p − 2))² + 0,5(p − 2)² − 6 млн рублей.

Если p ≤ 2, прибыль при x ≥ 0 отрицательна, окупаемость невозможна. При p > 2 наибольшая прибыль достигается при x = p − 2.

Для окупаемости за срок не более трёх лет годовая прибыль должна быть не меньше 78/3 = 26 млн рублей. Поэтому 0,5(p − 2)² − 6 ≥ 26.

Получаем (p − 2)² ≥ 64. С учётом p > 2 имеем p ≥ 10. При p = 10 выпуск x = 8 тыс. единиц даёт 26 млн рублей прибыли в год.

Ответ: 10 тыс. руб. за единицу.

Ответ: 10

Теория

Правила и свойства для этого типа задач

Самопроверка

На что обратить внимание перед ответом

Алгоритм

Короткий контрольный список перед ответом

Тренировка

Ещё задачи линии №13

Навигация

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ