Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $(0,5x^2+2x+6)$ млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px-(0,5x^2+2x+6)$. Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не больше чем за 3 года?

Пример решения № 1

Чтобы строительство завода окупилось не больше чем за 3 года, необходимо

выполнение следующего неравенства:

3(px − (0,5x2+ 2x + 6) ≥ 78

( 2 )

px− 0,5x + 2x+ 6 ≥ 26

26− px+ 0,5x2+ 2x+ 6 ≤0

x2+ x(4− 2p) +64 ≤0

Левая часть неравенства — парабола ветвями вверх. Для того, чтобы оно имело

решение, необходимо, чтобы вершина параболы лежала ниже оси абсцисс или на

ней. Тогда по формуле xв = −-b = − 4-− 2p :

2a 2

(p − 2)2+ (p− 2)(4− 2p)+ 64 ≤ 0

− p +4p+ 60 ≤0

p2− 4p− 60 ≥ 0

(p− 10)(p+ 6)≥ 0

Решим неравенство методом интервалов:

p−1+−+60

Поскольку p — неотрицательное, то наименьшее p= 10.

Ответ: Поскольку p — неотрицательное, то наименьшее p= 10.