Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 64 из 87Тригонометрические выраженияЯщенко · вариант 13
Линия №8

Найдите значение выражения .

Источник: Ященко

Показать ответ

Ответ: -4,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Выделим формулу косинуса двойного угла и найдём точное табличное значение.

27cos⁡219π12−27sin⁡219π12\begin{gathered}\sqrt{27}\cos^2\frac{19\pi}{12}\\-\sqrt{27}\sin^2\frac{19\pi}{12}\end{gathered}
Ключевая идея:

Выделим формулу косинуса двойного угла и найдём точное табличное значение.

cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2x-\sin^2x=\cos2x
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

27cos⁡219π12−27sin⁡219π12\begin{gathered}\sqrt{27}\cos^2\frac{19\pi}{12}\\-\sqrt{27}\sin^2\frac{19\pi}{12}\end{gathered}

Нужно найти: значение выражения.

План решения: Выделим формулу косинуса двойного угла и найдём точное табличное значение.

Поясняющая формула для этой задачи

cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2x-\sin^2x=\cos2x

Выделим формулу косинуса двойного угла и найдём точное табличное значение.

Шаг 1. Вынесем общий множитель

Оба слагаемых содержат √27 = 3√3.

33(cos⁡219π12−sin⁡219π12)3\sqrt3\left(\cos^2\frac{19\pi}{12}-\sin^2\frac{19\pi}{12}\right)

Шаг 2. Свернём разность квадратов

Удваиваем угол и вычитаем полный период 2π.

33cos⁡19π63\sqrt3\cos\frac{19\pi}6cos⁡19π6=cos⁡7π6=−32\cos\frac{19\pi}6=\cos\frac{7\pi}6=-\frac{\sqrt3}2

Шаг 3. Выполним умножение

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

33⋅(−32)3\sqrt3\cdot\left(-\frac{\sqrt3}2\right)=−92=−4,5=-\frac92=-4{,}5
Ответ:−4,5-4{,}5
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Основное свойство

    Выделим формулу косинуса двойного угла и найдём точное табличное значение.

    cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2x-\sin^2x=\cos2x
  • Условия применения

    Все числовые выражения определены; делители не равны нулю.

    27cos⁡219π12−27sin⁡219π12\sqrt{27}\cos^2\frac{19\pi}{12}-\sqrt{27}\sin^2\frac{19\pi}{12}
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • На что обратить внимание

    В формуле двойного угла меняется сам угол. После сокращения периода обязательно проверьте четверть и знак.

    cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2x-\sin^2x=\cos2x
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  • Условие переписано верно

    Сохранены основания, показатели степеней, углы и знаки.

    27cos⁡219π12−27sin⁡219π12\sqrt{27}\cos^2\frac{19\pi}{12}-\sqrt{27}\sin^2\frac{19\pi}{12}
  • Получен точный ответ

    Преобразования выполнены без округления промежуточных значений.

    −4,5-4{,}5
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №8
Все задания линии №8 →
Тригонометрические выраженияСинус двойного угла: 95°Задание 20278003Тригонометрические выраженияСинус двойного угла: 85°Задание 20278004Тригонометрические выраженияТригонометрия: углы , − и Задание 20278009Тригонометрические выраженияТригонометрия: углы , − и Задание 20278010Тригонометрические выраженияКосинус двойного угла и корни из 300 и 75Задание 20278014Тригонометрические выраженияТангенс по косинусу в IV четвертиЗадание 20278017
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена