Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 76 из 87Логарифмические выраженияЯщенко · вариант 25
Линия №8

Найдите значение выражения .

Источник: Ященко

Показать ответ

Ответ: 1

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Разложим 15 на произведение 3 и 5, затем воспользуемся взаимно обратными логарифмами.

(1−log⁡515)(1−log⁡315)(1-\log_5 15)(1-\log_3 15)
Ключевая идея:

Разложим 15 на произведение 3 и 5, затем воспользуемся взаимно обратными логарифмами.

log⁡ab⋅log⁡ba=1\log_a b\cdot\log_b a=1
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

(1−log⁡515)(1−log⁡315)(1-\log_5 15)(1-\log_3 15)

Нужно найти: значение выражения.

План решения: Разложим 15 на произведение 3 и 5, затем воспользуемся взаимно обратными логарифмами.

Поясняющая формула для этой задачи

log⁡ab⋅log⁡ba=1\log_a b\cdot\log_b a=1

Разложим 15 на произведение 3 и 5, затем воспользуемся взаимно обратными логарифмами.

Шаг 1. Разложим логарифмы произведения

Один из множителей аргумента совпадает с основанием.

log⁡515=1+log⁡53\log_5 15=1+\log_5 3log⁡315=1+log⁡35\log_3 15=1+\log_3 5

Шаг 2. Упростим скобки

В каждой скобке единицы сокращаются. Два минуса дадут плюс.

1−log⁡515=−log⁡531-\log_5 15=-\log_5 31−log⁡315=−log⁡351-\log_3 15=-\log_3 5

Шаг 3. Перейдём к общему основанию

По формуле перехода произведение взаимно обратных логарифмов равно 1.

log⁡53⋅log⁡35\log_5 3\cdot\log_3 5=ln⁡3ln⁡5⋅ln⁡5ln⁡3=1=\frac{\ln3}{\ln5}\cdot\frac{\ln5}{\ln3}=1
Ответ:11
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Основное свойство

    Разложим 15 на произведение 3 и 5, затем воспользуемся взаимно обратными логарифмами.

    log⁡ab⋅log⁡ba=1\log_a b\cdot\log_b a=1
  • Условия применения

    Все числовые выражения определены; делители не равны нулю.

    (1−log⁡515)(1−log⁡315)(1-\log_5 15)(1-\log_3 15)
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • На что обратить внимание

    Раскрывая 1 − (1 + log), поставьте минус перед всем выражением в скобках.

    log⁡ab⋅log⁡ba=1\log_a b\cdot\log_b a=1
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  • Условие переписано верно

    Сохранены основания, показатели степеней, углы и знаки.

    (1−log⁡515)(1−log⁡315)(1-\log_5 15)(1-\log_3 15)
  • Получен точный ответ

    Преобразования выполнены без округления промежуточных значений.

    11
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №8
Все задания линии №8 →
Логарифмические выраженияЛогарифм произведения b и корня из aЗадание 20278001Логарифмические выраженияЛогарифм произведения a и корня из bЗадание 20278002Логарифмические выраженияОтношение логарифмов 125 и 625Задание 20278007Логарифмические выраженияОтношение логарифмов 32 и 4Задание 20278008Логарифмические выраженияЛогарифм частного a и bЗадание 20278011Логарифмические выраженияЛогарифм произведения a и bЗадание 20278012
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена