ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ A63D02321 из 321

Дроби с корнями в знаменателе — (1)/(2+√(3))+(1)/(2−√(3))

Найдите значение выражения $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ .

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 4.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$ .

Короткий ход решения

Приводим дроби к общему знаменателю; используем разность квадратов и сокращение противоположных слагаемых. Значение выражения — $4$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$
Способ решения: Приводим дроби к общему знаменателю; используем разность квадратов и сокращение противоположных слагаемых.

Число $\sqrt{3}$ меньше 2: его квадрат равен 3, а квадрат 2 равен 4. Поэтому оба знаменателя ненулевые. Общим знаменателем возьмём их произведение.

(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})

Первая дробь получит дополнительный множитель 2 − √3, вторая — 2 + √3. Умножаем на него и числитель, и знаменатель.

Дроби можно складывать после получения одинаковых знаменателей. В числителе первой появляется 2 − √3, второй — 2 + √3.

\frac{1}{2+\sqrt{3}}

+\frac{1}{2-\sqrt{3}}

=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}

+\frac{2+\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}

=\frac{(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}

При сложении дробей складываем числители, а общий знаменатель сохраняем.

Корни в числителе имеют противоположные знаки и сокращаются.

(2-\sqrt{3})

+(2+\sqrt{3})

=2

+2

=4

Осталась сумма двух двоек.

Произведение суммы и разности равно разности квадратов.

(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})

=2^{2}

-(\sqrt{3})^{2}

=4

-3

=1

Знаменатель получился равным 1, поэтому деление не меняет числитель.

Подставляем отдельно найденные числитель и знаменатель.

\frac{1}{2+\sqrt{3}}

+\frac{1}{2-\sqrt{3}}

=\frac{4}{1}

=4

Ответ точный; корень не приходилось вычислять приближённо.

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

4

Записываем только число: 4. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Порядок действий для задач этого типа

Приводим дроби к общему знаменателю; используем разность квадратов и сокращение противоположных слагаемых.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

На что обратить внимание при самопроверке

Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.