ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ E44CC2205 из 321

Степень произведения и сокращение — ((5⋅7)⁶)/(5⁴⋅7⁶)

Найдите значение выражения $\frac{{(5 \cdot 7)}^{6}}{5^{4} \cdot 7^{6}}$ .

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 25.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\dfrac{{(5\cdot7)}^{6}}{{5}^{4}\cdot{7}^{6}}$ .

Короткий ход решения

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени. Значение выражения — $25$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\dfrac{{(5\cdot7)}^{6}}{{5}^{4}\cdot{7}^{6}}$
Способ решения: Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.

Представим основание числителя как произведение 5 и 7. Показатель 6 относится к каждому множителю.

35

=5

\cdot7

{(5\cdot7)}^{6}

={5}^{6}

\cdot{7}^{6}

Теперь в числителе и знаменателе есть степени с одинаковыми основаниями; их можно разделить по отдельности.

Для основания 5 вычитаем показатели 6-4; для основания 7 — 6-6.

\frac{{(5\cdot7)}^{6}}{{5}^{4}\cdot{7}^{6}}

=\frac{{5}^{6}\cdot{7}^{6}}{{5}^{4}\cdot{7}^{6}}

={5}^{6-4}

\cdot{7}^{6-6}

={5}^{2}

\cdot{7}^{0}

6

-4

=2

6

-6

=0

Сокращаются одинаковые множители, а не отдельные цифры. Если показатель становится нулём, ненулевое число в нулевой степени равно 1.

Сначала считаем каждую степень, потом перемножаем результаты.

{5}^{2}

=5

\cdot5

=25

{7}^{0}

=1

{5}^{2}

\cdot{7}^{0}

=25

\cdot1

=25

Большие исходные степени считать целиком не пришлось.

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

25

Записываем только число: 25. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Порядок действий для задач этого типа

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.