ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ D5C7AD177 из 321

Степень произведения и сокращение — (2¹⁰⋅11⁷)/(22⁷)

Найдите значение выражения $\frac{2^{10} \cdot 11^{7}}{22^{7}}$ .

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 8.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\dfrac{{2}^{10}\cdot{11}^{7}}{{22}^{7}}$ .

Короткий ход решения

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени. Значение выражения — $8$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\dfrac{{2}^{10}\cdot{11}^{7}}{{22}^{7}}$
Способ решения: Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.

В знаменателе стоит основание 22. Разложим его на те же множители, что есть в числителе: 2 и 11.

22

=2

\cdot11

{22}^{7}

={(2\cdot11)}^{7}

={2}^{7}

\cdot{11}^{7}

Степень произведения равна произведению степеней: внешний показатель относится к обоим множителям.

Для основания 2 вычитаем показатели 10-7; для основания 11 — 7-7.

\frac{{2}^{10}\cdot{11}^{7}}{{22}^{7}}

=\frac{{2}^{10}\cdot{11}^{7}}{{2}^{7}\cdot{11}^{7}}

={2}^{10-7}

\cdot{11}^{7-7}

={2}^{3}

\cdot{11}^{0}

10

-7

=3

7

-7

=0

Сокращаются одинаковые множители, а не отдельные цифры. Если показатель становится нулём, ненулевое число в нулевой степени равно 1.

Сначала считаем каждую степень, потом перемножаем результаты.

{2}^{3}

=2

\cdot2

\cdot2

=8

{11}^{0}

=1

{2}^{3}

\cdot{11}^{0}

=8

\cdot1

=8

Большие исходные степени считать целиком не пришлось.

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

8

Записываем только число: 8. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Порядок действий для задач этого типа

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.