Произведение и частное корней — 10√(7)⋅2√(6)⋅√(42)

Question

Найдите значение выражения $10 \sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{6} \cdot \sqrt{42}$ .

Answer 1

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $10\sqrt{7}\cdot2\sqrt{6}\cdot\sqrt{42}$ .

Короткий ход решения

Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение. Значение выражения — $840$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $10\sqrt{7}\cdot2\sqrt{6}\cdot\sqrt{42}$
Способ решения: Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.

1. Группируем обычные множители и корни

Числа 10 и 2 находятся перед корнями. Перемножим их отдельно; подкоренные числа 7, 6 и 42 объединим под одним корнем.

10\sqrt{7}

\cdot2\sqrt{6}

\cdot\sqrt{42}

=10

\cdot2

\cdot\sqrt{7\cdot6\cdot42}

10

\cdot2

=20

При перестановке множителей произведение не меняется. Коэффициенты перед корнями нельзя потерять.

2. Вычисляем подкоренное произведение

Перемножаем подкоренные числа последовательно.

7

\cdot6

=42

42

\cdot42

=1764

10\sqrt{7}

\cdot2\sqrt{6}

\cdot\sqrt{42}

=20

\cdot\sqrt{1764}

Перед корнем остаётся множитель 20.

3. Находим полный квадрат без угадывания

Чтобы понять, откуда берётся корень из 1764, последовательно делим это число на простые множители. В конце получаем 1, поэтому все множители учтены.

1764:2

=882

882:2

=441

441:3

=147

147:3

=49

49:7

=7

7:7

=1

1764

={2}^{2}

\cdot{3}^{2}

\cdot{7}^{2}

={(2\cdot3\cdot7)}^{2}

2

\cdot3

\cdot7

=42

Каждый простой множитель встретился чётное число раз. Из каждой пары одинаковых множителей один выходит из-под корня; их произведение и даёт искомое число.

4. Извлекаем корень и завершаем вычисление

Число 42 неотрицательно, и его квадрат равен 1764. Поэтому корень равен 42.

{42}^{2}

=42

\cdot42

=1764

\sqrt{1764}

=42

10\sqrt{7}

\cdot2\sqrt{6}

\cdot\sqrt{42}

=20

\cdot42

=840

Проверка возведением в квадрат объясняет, откуда появилось значение корня.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

840

Записываем только число: 840. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Answer 2

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $10\sqrt{7}\cdot2\sqrt{6}\cdot\sqrt{42}$ .

Answer 3

Короткий ход решения

Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение. Значение выражения — $840$ .

Answer 4

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Answer 5

Исходное выражение

10\sqrt{7}\cdot2\sqrt{6}\cdot\sqrt{42}

Способ решения

Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.

Answer 6

1. Группируем обычные множители и корни

Числа 10 и 2 находятся перед корнями. Перемножим их отдельно; подкоренные числа 7, 6 и 42 объединим под одним корнем.

10\sqrt{7}

\cdot2\sqrt{6}

\cdot\sqrt{42}

=10

\cdot2

\cdot\sqrt{7\cdot6\cdot42}

10

\cdot2

=20

При перестановке множителей произведение не меняется. Коэффициенты перед корнями нельзя потерять.

Answer 7

10\sqrt{7}

\cdot2\sqrt{6}

\cdot\sqrt{42}

=10

\cdot2

\cdot\sqrt{7\cdot6\cdot42}

10

\cdot2

=20

Answer 8

При перестановке множителей произведение не меняется. Коэффициенты перед корнями нельзя потерять.

Answer 9

2. Вычисляем подкоренное произведение

Перемножаем подкоренные числа последовательно.

7

\cdot6

=42

42

\cdot42

=1764

10\sqrt{7}

\cdot2\sqrt{6}

\cdot\sqrt{42}

=20

\cdot\sqrt{1764}

Перед корнем остаётся множитель 20.

Answer 10

7

\cdot6

=42

42

\cdot42

=1764

10\sqrt{7}

\cdot2\sqrt{6}

\cdot\sqrt{42}

=20

\cdot\sqrt{1764}

Answer 11

Перед корнем остаётся множитель 20.

Answer 12

3. Находим полный квадрат без угадывания

Чтобы понять, откуда берётся корень из 1764, последовательно делим это число на простые множители. В конце получаем 1, поэтому все множители учтены.

1764:2

=882

882:2

=441

441:3

=147

147:3

=49

49:7

=7

7:7

=1

1764

={2}^{2}

\cdot{3}^{2}

\cdot{7}^{2}

={(2\cdot3\cdot7)}^{2}

2

\cdot3

\cdot7

=42

Каждый простой множитель встретился чётное число раз. Из каждой пары одинаковых множителей один выходит из-под корня; их произведение и даёт искомое число.

Answer 13

1764:2

=882

882:2

=441

441:3

=147

147:3

=49

49:7

=7

7:7

=1

1764

={2}^{2}

\cdot{3}^{2}

\cdot{7}^{2}

={(2\cdot3\cdot7)}^{2}

2

\cdot3

\cdot7

=42

Answer 14

Каждый простой множитель встретился чётное число раз. Из каждой пары одинаковых множителей один выходит из-под корня; их произведение и даёт искомое число.

Answer 15

4. Извлекаем корень и завершаем вычисление

Число 42 неотрицательно, и его квадрат равен 1764. Поэтому корень равен 42.

{42}^{2}

=42

\cdot42

=1764

\sqrt{1764}

=42

10\sqrt{7}

\cdot2\sqrt{6}

\cdot\sqrt{42}

=20

\cdot42

=840

Проверка возведением в квадрат объясняет, откуда появилось значение корня.

Answer 16

{42}^{2}

=42

\cdot42

=1764

\sqrt{1764}

=42

10\sqrt{7}

\cdot2\sqrt{6}

\cdot\sqrt{42}

=20

\cdot42

=840

Answer 17

Проверка возведением в квадрат объясняет, откуда появилось значение корня.

Answer 18

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

840

Записываем только число: 840. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Answer 19

Записываем только число: 840. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Произведение и частное корней — 10√(7)⋅2√(6)⋅√(42)

Разбираем шаг за шагом

1. Группируем обычные множители и корни

2. Вычисляем подкоренное произведение

3. Находим полный квадрат без угадывания

4. Извлекаем корень и завершаем вычисление

5. Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Данные из условия	Результат
Исходное выражение	$10\sqrt{7}\cdot2\sqrt{6}\cdot\sqrt{42}$
Упрощённое выражение	$840$
Точное значение для ответа	$840$