ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 28B325129 из 321

Отрицательные показатели степеней — a⁻¹⁵⋅(a⁵)⁴ при a=2

Найдите значение выражения $a^{- 15} \cdot {(a^{5})}^{4}$ при $a = 2$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 28B325.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 32.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения ${a}^{-15}\cdot{({a}^{5})}^{4}$ .

Короткий ход решения

Отрицательный показатель означает обратную величину; дальше применяем правила степеней. После упрощения получаем $a^{5}$ . Значение выражения — $32$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: ${a}^{-15}\cdot{({a}^{5})}^{4}$
Значение a: $a=2$
Способ решения: Отрицательный показатель означает обратную величину; дальше применяем правила степеней.

1. Разбираемся с отрицательным показателем

Отрицательный показатель означает обратную величину: ${a}^{-15}$ — это 1, делённая на ${a}^{15}$ . Он не делает само число отрицательным.

{a}^{-15}

=\frac{1}{{a}^{15}}

Основание в этой задаче положительно и не равно нулю, поэтому такое выражение определено.

2. Раскрываем степень степени

Показатель внутри скобок умножаем на показатель снаружи.

{({a}^{5})}^{4}

={a}^{5\cdot4}

={a}^{20}

Получили показатель 20. Теперь можно объединить две степени с одинаковым основанием.

3. Складываем показатели при умножении

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются. Само основание сохраняется.

{a}^{-15}

\cdot{({a}^{5})}^{4}

={a}^{-15+20}

-15

+20

=5

{a}^{-15}

\cdot{({a}^{5})}^{4}

={a}^{5}

Минус относится к показателю -15. После сложения остаётся показатель 5.

4. Подставляем заданное значение a

Выражение уже упростилось до ${a}^{5}$ . Теперь вместо a подставляем $2$ .

{a}^{5}

={2}^{5}

Значение переменной не меняет правило степеней; подстановка просто превращает буквенную запись в числовую.

5. Считаем итоговую степень

Показатель 5 означает произведение 5 одинаковых множителей.

{2}^{5}

=2

\cdot2

\cdot2

\cdot2

\cdot2

=32

Не умножайте основание на показатель: степень означает повторное умножение основания на себя.

6. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

32

Записываем только число: 32. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Исходное выражение	${a}^{-15}\cdot{({a}^{5})}^{4}$
Упрощённое выражение	$a^{5}$
Точное значение для ответа	$32$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Отрицательный показатель означает обратную величину; дальше применяем правила степеней.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.

Все задания №8 (321)