ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ A6194012 из 321

Корни из выражений с переменными — √((16a¹⁴)/(a⁸)) при a=3

Найдите значение выражения $\sqrt{\frac{16 a^{14}}{a^{8}}}$ при $a = 3$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание A61940.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 108.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\sqrt{\dfrac{16{a}^{14}}{{a}^{8}}}$ .

Короткий ход решения

Упрощаем степени под корнем, проверяем знаки переменных и подставляем их значения. После упрощения получаем $4 a^{2} |{a}|$ . Значение выражения — $108$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\sqrt{\dfrac{16{a}^{14}}{{a}^{8}}}$
Значение a: $a=3$
Способ решения: Упрощаем степени под корнем, проверяем знаки переменных и подставляем их значения.

1. Сокращаем степени под корнем

Заданное a не равно нулю. При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.

\frac{{a}^{14}}{{a}^{8}}

={a}^{14-8}

={a}^{6}

\sqrt{\frac{16{a}^{14}}{{a}^{8}}}

=\sqrt{16{a}^{6}}

Разность показателей 14 − 8 равна 6.

2. Выделяем полный квадрат

16 — квадрат числа 4. Степень ${a}^{6}$ — квадрат ${a}^{3}$ .

16

={4}^{2}

{a}^{6}

={({a}^{3})}^{2}

\sqrt{\frac{16{a}^{14}}{{a}^{8}}}

=4|{a}^{3}|

=4

\cdot{a}^{3}

Корень из квадрата даёт модуль. Здесь a положительно, поэтому модуль снимается без изменения знака.

3. Подставляем значения переменных

После упрощения заменяем каждую переменную её значением из условия.

4

\cdot{a}^{3}

=4

\cdot{(3)}^{3}

Сначала считаем оставшиеся степени, затем произведение или частное.

4. Вычисляем оставшиеся степени и дробь

Покажем числовые значения степеней и выполним последние действия.

{3}^{3}

=3

\cdot3

\cdot3

=27

4

\cdot{(3)}^{3}

=108

Округлять промежуточные результаты не нужно: вычисления точные.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

108

Записываем только число: 108. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Исходное выражение	$\sqrt{\dfrac{16{a}^{14}}{{a}^{8}}}$
Упрощённое выражение	$4 a^{2} \|{a}\|$
Точное значение для ответа	$108$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Упрощаем степени под корнем, проверяем знаки переменных и подставляем их значения.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.

Все задания №8 (321)