ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 86A786320 из 321

Квадрат суммы и разности с корнем — (√(19)+5)²−10√(19)

Найдите значение выражения ${(\sqrt{19} + 5)}^{2} - 10 \sqrt{19}$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 86A786.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 44.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения ${(\sqrt{19}+5)}^{2}-10\sqrt{19}$ .

Короткий ход решения

Раскрываем квадрат скобки с удвоенным произведением и сокращаем противоположные слагаемые. Значение выражения — $44$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: ${(\sqrt{19}+5)}^{2}-10\sqrt{19}$
Способ решения: Раскрываем квадрат скобки с удвоенным произведением и сокращаем противоположные слагаемые.

1. Раскрываем квадрат скобки

Квадрат суммы или разности содержит три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение двух частей и квадрат второго. Последний квадрат всегда прибавляется.

{(\sqrt{19}+5)}^{2}

={(\sqrt{19})}^{2}

+2

\cdot5

\cdot\sqrt{19}

+{5}^{2}

Знак среднего слагаемого — плюс, как внутри исходной скобки. Нельзя просто возвести в квадрат обе части и забыть среднее произведение.

2. Вычисляем квадраты и коэффициент среднего слагаемого

Квадрат $\sqrt{19}$ равен 19. Удвоенный множитель 5 даёт 10.

{(\sqrt{19})}^{2}

=19

2

\cdot5

=10

{5}^{2}

=5

\cdot5

=25

{(\sqrt{19}+5)}^{2}

=19

+10\sqrt{19}

+25

Теперь хорошо видно слагаемое с корнем, которое будет сокращаться с частью вне скобки.

3. Возвращаем слагаемое вне скобки и сокращаем

После раскрытия скобок сохраняем внешнее действие: $-10\sqrt{19}$ . Одинаковые выражения с корнем имеют противоположные знаки.

{(\sqrt{19}+5)}^{2}

-10\sqrt{19}

=19

+10\sqrt{19}

+25

-10\sqrt{19}

=19

+25

=44

Корни исчезли за счёт сложения противоположных слагаемых. Никакого приближённого вычисления корня не потребовалось.

4. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

44

Записываем только число: 44. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Исходное выражение	${(\sqrt{19}+5)}^{2}-10\sqrt{19}$
Упрощённое выражение	$44$
Точное значение для ответа	$44$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Раскрываем квадрат скобки с удвоенным произведением и сокращаем противоположные слагаемые.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.

Все задания №8 (321)