ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 8BCB8D319 из 321

Степень произведения и сокращение — (6⁷)/(2⁶⋅3⁵)

Найдите значение выражения $\frac{6^{7}}{2^{6} \cdot 3^{5}}$ .

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 18.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\dfrac{{6}^{7}}{{2}^{6}\cdot{3}^{5}}$ .

Короткий ход решения

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени. Значение выражения — $18$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\dfrac{{6}^{7}}{{2}^{6}\cdot{3}^{5}}$
Способ решения: Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.

Представим основание числителя как произведение 2 и 3. Показатель 7 относится к каждому множителю.

6

=2

\cdot3

{(2\cdot3)}^{7}

={2}^{7}

\cdot{3}^{7}

Теперь в числителе и знаменателе есть степени с одинаковыми основаниями; их можно разделить по отдельности.

Для основания 2 вычитаем показатели 7-6; для основания 3 — 7-5.

\frac{{6}^{7}}{{2}^{6}\cdot{3}^{5}}

=\frac{{2}^{7}\cdot{3}^{7}}{{2}^{6}\cdot{3}^{5}}

={2}^{7-6}

\cdot{3}^{7-5}

={2}^{1}

\cdot{3}^{2}

7

-6

=1

7

-5

=2

Сокращаются одинаковые множители, а не отдельные цифры. Если показатель становится нулём, ненулевое число в нулевой степени равно 1.

Сначала считаем каждую степень, потом перемножаем результаты.

{2}^{1}

=2

{3}^{2}

=3

\cdot3

=9

{2}^{1}

\cdot{3}^{2}

=2

\cdot9

=18

Большие исходные степени считать целиком не пришлось.

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

18

Записываем только число: 18. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Порядок действий для задач этого типа

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.