Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ EF17F535 из 321

Произведение и частное корней — √(7⋅18)⋅√(14)

Найдите значение выражения 7⋅18⋅14.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание EF17F5.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 42.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения 7⋅18⋅14\sqrt{7\cdot18}\cdot\sqrt{14}.

Короткий ход решения

Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение. Значение выражения — 4242.

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение
7⋅18⋅14\sqrt{7\cdot18}\cdot\sqrt{14}
Способ решения
Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.

1. Объединяем корни

Все множители под корнями неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

7⋅18\sqrt{7\cdot18}⋅14\cdot\sqrt{14}=7⋅18⋅14=\sqrt{7\cdot18\cdot14}

Под одним корнем оказались три множителя. Ни один из них не исчезает.

2. Считаем произведение под корнем

Сначала перемножим 7 и 18, затем умножим на 14.

77⋅18\cdot18=126=126
126126⋅14\cdot14=1764=1764
7⋅18\sqrt{7\cdot18}⋅14\cdot\sqrt{14}=1764=\sqrt{1764}

Теперь нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен полученному произведению.

3. Находим полный квадрат без угадывания

Чтобы понять, откуда берётся корень из 1764, последовательно делим это число на простые множители. В конце получаем 1, поэтому все множители учтены.

1764:21764:2=882=882
882:2882:2=441=441
441:3441:3=147=147
147:3147:3=49=49
49:749:7=7=7
7:77:7=1=1
17641764=22={2}^{2}⋅32\cdot{3}^{2}⋅72\cdot{7}^{2}=(2⋅3⋅7)2={(2\cdot3\cdot7)}^{2}
22⋅3\cdot3⋅7\cdot7=42=42

Каждый простой множитель встретился чётное число раз. Из каждой пары одинаковых множителей один выходит из-под корня; их произведение и даёт искомое число.

4. Извлекаем корень и завершаем вычисление

Число 42 неотрицательно, и его квадрат равен 1764. Поэтому корень равен 42.

422{42}^{2}=42=42⋅42\cdot42=1764=1764
1764\sqrt{1764}=42=42
7⋅18\sqrt{7\cdot18}⋅14\cdot\sqrt{14}=1=1⋅42\cdot42=42=42

Проверка возведением в квадрат объясняет, откуда появилось значение корня.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

4242

Записываем только число: 42. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условияРезультат
Исходное выражение7⋅18⋅14\sqrt{7\cdot18}\cdot\sqrt{14}
Упрощённое выражение4242
Точное значение для ответа4242

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.
  2. Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
  3. Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
  4. Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований
  • Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
  • Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
  • Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
  • Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
  • Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.
Все задания №8 (321)