ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 0C4392218 из 321

Отрицательные показатели степеней — a⁻¹⁰⋅(a⁴)³ при a=4

Найдите значение выражения $a^{- 10} \cdot {(a^{4})}^{3}$ при $a = 4$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 0C4392.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 16.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения ${a}^{-10}\cdot{({a}^{4})}^{3}$ .

Короткий ход решения

Отрицательный показатель означает обратную величину; дальше применяем правила степеней. После упрощения получаем $a^{2}$ . Значение выражения — $16$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: ${a}^{-10}\cdot{({a}^{4})}^{3}$
Значение a: $a=4$
Способ решения: Отрицательный показатель означает обратную величину; дальше применяем правила степеней.

1. Разбираемся с отрицательным показателем

Отрицательный показатель означает обратную величину: ${a}^{-10}$ — это 1, делённая на ${a}^{10}$ . Он не делает само число отрицательным.

{a}^{-10}

=\frac{1}{{a}^{10}}

Основание в этой задаче положительно и не равно нулю, поэтому такое выражение определено.

2. Раскрываем степень степени

Показатель внутри скобок умножаем на показатель снаружи.

{({a}^{4})}^{3}

={a}^{4\cdot3}

={a}^{12}

Получили показатель 12. Теперь можно объединить две степени с одинаковым основанием.

3. Складываем показатели при умножении

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются. Само основание сохраняется.

{a}^{-10}

\cdot{({a}^{4})}^{3}

={a}^{-10+12}

-10

+12

=2

{a}^{-10}

\cdot{({a}^{4})}^{3}

={a}^{2}

Минус относится к показателю -10. После сложения остаётся показатель 2.

4. Подставляем заданное значение a

Выражение уже упростилось до ${a}^{2}$ . Теперь вместо a подставляем $4$ .

{a}^{2}

={4}^{2}

Значение переменной не меняет правило степеней; подстановка просто превращает буквенную запись в числовую.

5. Считаем итоговую степень

Показатель 2 означает произведение 2 одинаковых множителей.

{4}^{2}

=4

\cdot4

=16

Не умножайте основание на показатель: степень означает повторное умножение основания на себя.

6. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

16

Записываем только число: 16. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Исходное выражение	${a}^{-10}\cdot{({a}^{4})}^{3}$
Упрощённое выражение	$a^{2}$
Точное значение для ответа	$16$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Отрицательный показатель означает обратную величину; дальше применяем правила степеней.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.

Все задания №8 (321)