ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 4749E0236 из 321

Степень степени — ((a³)⁴⋅a¹²)/(a²¹) при a=5

Найдите значение выражения $\frac{{(a^{3})}^{4} \cdot a^{12}}{a^{21}}$ при $a = 5$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 4749E0.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 125.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\dfrac{{({a}^{3})}^{4}\cdot{a}^{12}}{{a}^{21}}$ .

Короткий ход решения

Сначала перемножаем показатели вложенных степеней, затем учитываем умножение и деление. После упрощения получаем $a^{3}$ . Значение выражения — $125$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\dfrac{{({a}^{3})}^{4}\cdot{a}^{12}}{{a}^{21}}$
Значение a: $a=5$
Способ решения: Сначала перемножаем показатели вложенных степеней, затем учитываем умножение и деление.

1. Сначала раскрываем степень степени

Степень в скобках уже состоит из одинаковых множителей. Возведение её ещё в одну степень повторяет эти множители: показатели нужно перемножить.

{({a}^{3})}^{4}

={a}^{3\cdot(4)}

={a}^{12}

Поэтому внутренний показатель 3 и внешний показатель 4 дают 12; они не складываются.

2. Учитываем умножение и деление

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются. Само основание сохраняется.

\frac{{({a}^{3})}^{4}\cdot{a}^{12}}{{a}^{21}}

={a}^{12+12-(21)}

12

+12

-(21)

=3

{a}^{12+12-(21)}

={a}^{3}

Вычитаем весь показатель знаменателя 21. Показатели числителя учитываются со знаком плюс, знаменателя — со знаком минус.

3. Подставляем заданное значение a

Выражение уже упростилось до ${a}^{3}$ . Теперь вместо a подставляем $5$ .

{a}^{3}

={5}^{3}

Значение переменной не меняет правило степеней; подстановка просто превращает буквенную запись в числовую.

4. Считаем итоговую степень

Показатель 3 означает произведение 3 одинаковых множителей.

{5}^{3}

=5

\cdot5

\cdot5

=125

Не умножайте основание на показатель: степень означает повторное умножение основания на себя.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

125

Записываем только число: 125. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Исходное выражение	$\dfrac{{({a}^{3})}^{4}\cdot{a}^{12}}{{a}^{21}}$
Упрощённое выражение	$a^{3}$
Точное значение для ответа	$125$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Сначала перемножаем показатели вложенных степеней, затем учитываем умножение и деление.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.

Все задания №8 (321)