ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 46638B300 из 321

Степень произведения и сокращение — (20⁷)/(4⁶⋅5⁵)

Найдите значение выражения $\frac{20^{7}}{4^{6} \cdot 5^{5}}$ .

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 100.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\dfrac{{20}^{7}}{{4}^{6}\cdot{5}^{5}}$ .

Короткий ход решения

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени. Значение выражения — $100$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\dfrac{{20}^{7}}{{4}^{6}\cdot{5}^{5}}$
Способ решения: Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.

Представим основание числителя как произведение 4 и 5. Показатель 7 относится к каждому множителю.

20

=4

\cdot5

{(4\cdot5)}^{7}

={4}^{7}

\cdot{5}^{7}

Теперь в числителе и знаменателе есть степени с одинаковыми основаниями; их можно разделить по отдельности.

Для основания 4 вычитаем показатели 7-6; для основания 5 — 7-5.

\frac{{20}^{7}}{{4}^{6}\cdot{5}^{5}}

=\frac{{4}^{7}\cdot{5}^{7}}{{4}^{6}\cdot{5}^{5}}

={4}^{7-6}

\cdot{5}^{7-5}

={4}^{1}

\cdot{5}^{2}

7

-6

=1

7

-5

=2

Сокращаются одинаковые множители, а не отдельные цифры. Если показатель становится нулём, ненулевое число в нулевой степени равно 1.

Сначала считаем каждую степень, потом перемножаем результаты.

{4}^{1}

=4

{5}^{2}

=5

\cdot5

=25

{4}^{1}

\cdot{5}^{2}

=4

\cdot25

=100

Большие исходные степени считать целиком не пришлось.

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

100

Записываем только число: 100. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Порядок действий для задач этого типа

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.