ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 0CA31E103 из 321

Корни из выражений с переменными — √((25a¹⁹)/(a¹¹)) при a=2

Найдите значение выражения $\sqrt{\frac{25 a^{19}}{a^{11}}}$ при $a = 2$ .

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 80.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\sqrt{\dfrac{25{a}^{19}}{{a}^{11}}}$ .

Короткий ход решения

Упрощаем степени под корнем, проверяем знаки переменных и подставляем их значения. После упрощения получаем $5 a^{4}$ . Значение выражения — $80$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\sqrt{\dfrac{25{a}^{19}}{{a}^{11}}}$
Значение a: $a=2$
Способ решения: Упрощаем степени под корнем, проверяем знаки переменных и подставляем их значения.

Заданное a не равно нулю. При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.

\frac{{a}^{19}}{{a}^{11}}

={a}^{19-11}

={a}^{8}

\sqrt{\frac{25{a}^{19}}{{a}^{11}}}

=\sqrt{25{a}^{8}}

Разность показателей 19 − 11 равна 8.

25 — квадрат числа 5. Степень ${a}^{8}$ — квадрат ${a}^{4}$ .

25

={5}^{2}

{a}^{8}

={({a}^{4})}^{2}

\sqrt{\frac{25{a}^{19}}{{a}^{11}}}

=5|{a}^{4}|

=5

\cdot{a}^{4}

Корень из квадрата даёт модуль. Здесь a положительно, поэтому модуль снимается без изменения знака.

После упрощения заменяем каждую переменную её значением из условия.

5

\cdot{a}^{4}

=5

\cdot{(2)}^{4}

Сначала считаем оставшиеся степени, затем произведение или частное.

Покажем числовые значения степеней и выполним последние действия.

{2}^{4}

=2

\cdot2

\cdot2

\cdot2

=16

5

\cdot{(2)}^{4}

=80

Округлять промежуточные результаты не нужно: вычисления точные.

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

80

Записываем только число: 80. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Порядок действий для задач этого типа

Упрощаем степени под корнем, проверяем знаки переменных и подставляем их значения.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

На что обратить внимание при самопроверке

Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.