ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ D3B8B291 из 321

Степень произведения и сокращение — (5⁹⋅9⁶)/(45⁶)

Найдите значение выражения $\frac{5^{9} \cdot 9^{6}}{45^{6}}$ .

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 125.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\dfrac{{5}^{9}\cdot{9}^{6}}{{45}^{6}}$ .

Короткий ход решения

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени. Значение выражения — $125$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\dfrac{{5}^{9}\cdot{9}^{6}}{{45}^{6}}$
Способ решения: Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.

В знаменателе стоит основание 45. Разложим его на те же множители, что есть в числителе: 5 и 9.

45

=5

\cdot9

{45}^{6}

={(5\cdot9)}^{6}

={5}^{6}

\cdot{9}^{6}

Степень произведения равна произведению степеней: внешний показатель относится к обоим множителям.

Для основания 5 вычитаем показатели 9-6; для основания 9 — 6-6.

\frac{{5}^{9}\cdot{9}^{6}}{{45}^{6}}

=\frac{{5}^{9}\cdot{9}^{6}}{{5}^{6}\cdot{9}^{6}}

={5}^{9-6}

\cdot{9}^{6-6}

={5}^{3}

\cdot{9}^{0}

9

-6

=3

6

-6

=0

Сокращаются одинаковые множители, а не отдельные цифры. Если показатель становится нулём, ненулевое число в нулевой степени равно 1.

Сначала считаем каждую степень, потом перемножаем результаты.

{5}^{3}

=5

\cdot5

\cdot5

=125

{9}^{0}

=1

{5}^{3}

\cdot{9}^{0}

=125

\cdot1

=125

Большие исходные степени считать целиком не пришлось.

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

125

Записываем только число: 125. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Порядок действий для задач этого типа

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.