Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ ED054217 из 321

Произведение и частное корней — √(13⋅18)⋅√(26)

Найдите значение выражения 13⋅18⋅26.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание ED0542.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 78.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения 13⋅18⋅26\sqrt{13\cdot18}\cdot\sqrt{26}.

Короткий ход решения

Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение. Значение выражения — 7878.

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение
13⋅18⋅26\sqrt{13\cdot18}\cdot\sqrt{26}
Способ решения
Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.

1. Объединяем корни

Все множители под корнями неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

13⋅18\sqrt{13\cdot18}⋅26\cdot\sqrt{26}=13⋅18⋅26=\sqrt{13\cdot18\cdot26}

Под одним корнем оказались три множителя. Ни один из них не исчезает.

2. Считаем произведение под корнем

Сначала перемножим 13 и 18, затем умножим на 26.

1313⋅18\cdot18=234=234
234234⋅26\cdot26=6084=6084
13⋅18\sqrt{13\cdot18}⋅26\cdot\sqrt{26}=6084=\sqrt{6084}

Теперь нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен полученному произведению.

3. Находим полный квадрат без угадывания

Чтобы понять, откуда берётся корень из 6084, последовательно делим это число на простые множители. В конце получаем 1, поэтому все множители учтены.

6084:26084:2=3042=3042
3042:23042:2=1521=1521
1521:31521:3=507=507
507:3507:3=169=169
169:13169:13=13=13
13:1313:13=1=1
60846084=22={2}^{2}⋅32\cdot{3}^{2}⋅132\cdot{13}^{2}=(2⋅3⋅13)2={(2\cdot3\cdot13)}^{2}
22⋅3\cdot3⋅13\cdot13=78=78

Каждый простой множитель встретился чётное число раз. Из каждой пары одинаковых множителей один выходит из-под корня; их произведение и даёт искомое число.

4. Извлекаем корень и завершаем вычисление

Число 78 неотрицательно, и его квадрат равен 6084. Поэтому корень равен 78.

782{78}^{2}=78=78⋅78\cdot78=6084=6084
6084\sqrt{6084}=78=78
13⋅18\sqrt{13\cdot18}⋅26\cdot\sqrt{26}=1=1⋅78\cdot78=78=78

Проверка возведением в квадрат объясняет, откуда появилось значение корня.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

7878

Записываем только число: 78. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условияРезультат
Исходное выражение13⋅18⋅26\sqrt{13\cdot18}\cdot\sqrt{26}
Упрощённое выражение7878
Точное значение для ответа7878

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.
  2. Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
  3. Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
  4. Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований
  • Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
  • Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
  • Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
  • Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
  • Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.
Все задания №8 (321)