Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 39BCA6188 из 321

Произведение и частное корней — √(2⋅45)⋅√(10)

Найдите значение выражения 2⋅45 ⋅ 10 .

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 39BCA6.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 30.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения 2⋅45⋅10\sqrt{2\cdot45}\cdot\sqrt{10}.

Короткий ход решения

Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение. Значение выражения — 3030.

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение
2⋅45⋅10\sqrt{2\cdot45}\cdot\sqrt{10}
Способ решения
Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.

1. Объединяем корни

Все множители под корнями неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

2⋅45\sqrt{2\cdot45}⋅10\cdot\sqrt{10}=2⋅45⋅10=\sqrt{2\cdot45\cdot10}

Под одним корнем оказались три множителя. Ни один из них не исчезает.

2. Считаем произведение под корнем

Сначала перемножим 2 и 45, затем умножим на 10.

22⋅45\cdot45=90=90
9090⋅10\cdot10=900=900
2⋅45\sqrt{2\cdot45}⋅10\cdot\sqrt{10}=900=\sqrt{900}

Теперь нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен полученному произведению.

3. Находим полный квадрат без угадывания

Чтобы понять, откуда берётся корень из 900, последовательно делим это число на простые множители. В конце получаем 1, поэтому все множители учтены.

900:2900:2=450=450
450:2450:2=225=225
225:3225:3=75=75
75:375:3=25=25
25:525:5=5=5
5:55:5=1=1
900900=22={2}^{2}⋅32\cdot{3}^{2}⋅52\cdot{5}^{2}=(2⋅3⋅5)2={(2\cdot3\cdot5)}^{2}
22⋅3\cdot3⋅5\cdot5=30=30

Каждый простой множитель встретился чётное число раз. Из каждой пары одинаковых множителей один выходит из-под корня; их произведение и даёт искомое число.

4. Извлекаем корень и завершаем вычисление

Число 30 неотрицательно, и его квадрат равен 900. Поэтому корень равен 30.

302{30}^{2}=30=30⋅30\cdot30=900=900
900\sqrt{900}=30=30
2⋅45\sqrt{2\cdot45}⋅10\cdot\sqrt{10}=1=1⋅30\cdot30=30=30

Проверка возведением в квадрат объясняет, откуда появилось значение корня.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

3030

Записываем только число: 30. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условияРезультат
Исходное выражение2⋅45⋅10\sqrt{2\cdot45}\cdot\sqrt{10}
Упрощённое выражение3030
Точное значение для ответа3030

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.
  2. Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
  3. Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
  4. Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований
  • Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
  • Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
  • Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
  • Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
  • Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.
Все задания №8 (321)