ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 9AB210112 из 321

Степени с одинаковым основанием — (a¹²⋅a⁶)/(a¹⁴) при a=3

Найдите значение выражения $\frac{a^{12} \cdot a^{6}}{a^{14}}$ при $a = 3$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 9AB210.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 81.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\dfrac{{a}^{12}\cdot{a}^{6}}{{a}^{14}}$ .

Короткий ход решения

При умножении складываем показатели, при делении вычитаем. После упрощения получаем $a^{4}$ . Значение выражения — $81$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\dfrac{{a}^{12}\cdot{a}^{6}}{{a}^{14}}$
Значение a: $a=3$
Способ решения: При умножении складываем показатели, при делении вычитаем.

1. Выбираем правило для одинаковых оснований

Во всех степенях основание одно и то же: $a$ . При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются. Само основание сохраняется.

\frac{{a}^{12}\cdot{a}^{6}}{{a}^{14}}

Подставлять значение a сразу и вычислять огромные степени не требуется.

2. Объединяем степени

В числителе складываем показатели 12 и 6. Показатель 14 из знаменателя вычитаем.

\frac{{a}^{12}\cdot{a}^{6}}{{a}^{14}}

={a}^{12+6-14}

12

+6

-14

=4

{a}^{12+6-14}

={a}^{4}

Отрицательный показатель участвует в вычислении со своим знаком. Двоеточие, если оно есть в условии, означает деление.

3. Подставляем заданное значение a

Выражение уже упростилось до ${a}^{4}$ . Теперь вместо a подставляем $3$ .

{a}^{4}

={3}^{4}

Значение переменной не меняет правило степеней; подстановка просто превращает буквенную запись в числовую.

4. Считаем итоговую степень

Показатель 4 означает произведение 4 одинаковых множителей.

{3}^{4}

=3

\cdot3

\cdot3

\cdot3

=81

Не умножайте основание на показатель: степень означает повторное умножение основания на себя.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

81

Записываем только число: 81. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Исходное выражение	$\dfrac{{a}^{12}\cdot{a}^{6}}{{a}^{14}}$
Упрощённое выражение	$a^{4}$
Точное значение для ответа	$81$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

При умножении складываем показатели, при делении вычитаем.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.

Все задания №8 (321)