Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 14A8D1140 из 321

Произведение и частное корней — √(3⋅32)⋅√(6)

Найдите значение выражения 3⋅32⋅6.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 14A8D1.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 24.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения 3⋅32⋅6\sqrt{3\cdot32}\cdot\sqrt{6}.

Короткий ход решения

Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение. Значение выражения — 2424.

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение
3⋅32⋅6\sqrt{3\cdot32}\cdot\sqrt{6}
Способ решения
Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.

1. Объединяем корни

Все множители под корнями неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

3⋅32\sqrt{3\cdot32}⋅6\cdot\sqrt{6}=3⋅32⋅6=\sqrt{3\cdot32\cdot6}

Под одним корнем оказались три множителя. Ни один из них не исчезает.

2. Считаем произведение под корнем

Сначала перемножим 3 и 32, затем умножим на 6.

33⋅32\cdot32=96=96
9696⋅6\cdot6=576=576
3⋅32\sqrt{3\cdot32}⋅6\cdot\sqrt{6}=576=\sqrt{576}

Теперь нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен полученному произведению.

3. Находим полный квадрат без угадывания

Чтобы понять, откуда берётся корень из 576, последовательно делим это число на простые множители. В конце получаем 1, поэтому все множители учтены.

576:2576:2=288=288
288:2288:2=144=144
144:2144:2=72=72
72:272:2=36=36
36:236:2=18=18
18:218:2=9=9
9:39:3=3=3
3:33:3=1=1
576576=26={2}^{6}⋅32\cdot{3}^{2}=(23⋅3)2={({2}^{3}\cdot3)}^{2}
23{2}^{3}⋅3\cdot3=24=24

Каждый простой множитель встретился чётное число раз. Из каждой пары одинаковых множителей один выходит из-под корня; их произведение и даёт искомое число.

4. Извлекаем корень и завершаем вычисление

Число 24 неотрицательно, и его квадрат равен 576. Поэтому корень равен 24.

242{24}^{2}=24=24⋅24\cdot24=576=576
576\sqrt{576}=24=24
3⋅32\sqrt{3\cdot32}⋅6\cdot\sqrt{6}=1=1⋅24\cdot24=24=24

Проверка возведением в квадрат объясняет, откуда появилось значение корня.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

2424

Записываем только число: 24. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условияРезультат
Исходное выражение3⋅32⋅6\sqrt{3\cdot32}\cdot\sqrt{6}
Упрощённое выражение2424
Точное значение для ответа2424

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.
  2. Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
  3. Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
  4. Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований
  • Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
  • Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
  • Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
  • Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
  • Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.
Все задания №8 (321)