Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 634AC8207 из 321

Произведение и частное корней — 5√(7)⋅6√(3)⋅√(21)

Найдите значение выражения 57⋅63⋅21.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 634AC8.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 630.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения 57⋅63⋅215\sqrt{7}\cdot6\sqrt{3}\cdot\sqrt{21}.

Короткий ход решения

Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение. Значение выражения — 630630.

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение
57⋅63⋅215\sqrt{7}\cdot6\sqrt{3}\cdot\sqrt{21}
Способ решения
Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.

1. Группируем обычные множители и корни

Числа 5 и 6 находятся перед корнями. Перемножим их отдельно; подкоренные числа 7, 3 и 21 объединим под одним корнем.

575\sqrt{7}⋅63\cdot6\sqrt{3}⋅21\cdot\sqrt{21}=5=5⋅6\cdot6⋅7⋅3⋅21\cdot\sqrt{7\cdot3\cdot21}
55⋅6\cdot6=30=30

При перестановке множителей произведение не меняется. Коэффициенты перед корнями нельзя потерять.

2. Вычисляем подкоренное произведение

Перемножаем подкоренные числа последовательно.

77⋅3\cdot3=21=21
2121⋅21\cdot21=441=441
575\sqrt{7}⋅63\cdot6\sqrt{3}⋅21\cdot\sqrt{21}=30=30⋅441\cdot\sqrt{441}

Перед корнем остаётся множитель 30.

3. Находим полный квадрат без угадывания

Чтобы понять, откуда берётся корень из 441, последовательно делим это число на простые множители. В конце получаем 1, поэтому все множители учтены.

441:3441:3=147=147
147:3147:3=49=49
49:749:7=7=7
7:77:7=1=1
441441=32={3}^{2}⋅72\cdot{7}^{2}=(3⋅7)2={(3\cdot7)}^{2}
33⋅7\cdot7=21=21

Каждый простой множитель встретился чётное число раз. Из каждой пары одинаковых множителей один выходит из-под корня; их произведение и даёт искомое число.

4. Извлекаем корень и завершаем вычисление

Число 21 неотрицательно, и его квадрат равен 441. Поэтому корень равен 21.

212{21}^{2}=21=21⋅21\cdot21=441=441
441\sqrt{441}=21=21
575\sqrt{7}⋅63\cdot6\sqrt{3}⋅21\cdot\sqrt{21}=30=30⋅21\cdot21=630=630

Проверка возведением в квадрат объясняет, откуда появилось значение корня.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

630630

Записываем только число: 630. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условияРезультат
Исходное выражение57⋅63⋅215\sqrt{7}\cdot6\sqrt{3}\cdot\sqrt{21}
Упрощённое выражение630630
Точное значение для ответа630630

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.
  2. Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
  3. Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
  4. Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований
  • Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
  • Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
  • Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
  • Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
  • Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.
Все задания №8 (321)