ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 2B9358161 из 321

Степени с одинаковым основанием — (a¹⁹⋅a⁻¹¹)/(a⁵) при a=5

Найдите значение выражения $\frac{a^{19} \cdot a^{- 11}}{a^{5}}$ при $a = 5$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 2B9358.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 125.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\dfrac{{a}^{19}\cdot{a}^{-11}}{{a}^{5}}$ .

Короткий ход решения

При умножении складываем показатели, при делении вычитаем. После упрощения получаем $a^{3}$ . Значение выражения — $125$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\dfrac{{a}^{19}\cdot{a}^{-11}}{{a}^{5}}$
Значение a: $a=5$
Способ решения: При умножении складываем показатели, при делении вычитаем.

1. Выбираем правило для одинаковых оснований

Во всех степенях основание одно и то же: $a$ . При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются. Само основание сохраняется.

\frac{{a}^{19}\cdot{a}^{-11}}{{a}^{5}}

Подставлять значение a сразу и вычислять огромные степени не требуется.

2. Объединяем степени

В числителе складываем показатели 19 и -11. Показатель 5 из знаменателя вычитаем.

\frac{{a}^{19}\cdot{a}^{-11}}{{a}^{5}}

={a}^{19+(-11)-5}

19

+(-11)

-5

=3

{a}^{19+(-11)-5}

={a}^{3}

Отрицательный показатель участвует в вычислении со своим знаком. Двоеточие, если оно есть в условии, означает деление.

3. Подставляем заданное значение a

Выражение уже упростилось до ${a}^{3}$ . Теперь вместо a подставляем $5$ .

{a}^{3}

={5}^{3}

Значение переменной не меняет правило степеней; подстановка просто превращает буквенную запись в числовую.

4. Считаем итоговую степень

Показатель 3 означает произведение 3 одинаковых множителей.

{5}^{3}

=5

\cdot5

\cdot5

=125

Не умножайте основание на показатель: степень означает повторное умножение основания на себя.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

125

Записываем только число: 125. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Исходное выражение	$\dfrac{{a}^{19}\cdot{a}^{-11}}{{a}^{5}}$
Упрощённое выражение	$a^{3}$
Точное значение для ответа	$125$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

При умножении складываем показатели, при делении вычитаем.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.

Все задания №8 (321)