Полный квадрат и модуль — √(a²+10ab+25b²) при a=7 7/11, b=(3)/(11)

Question

Найдите значение выражения $\sqrt{a^{2} + 10 a b + 25 b^{2}}$ при $a = 7 \frac{7}{11}$ и $b = \frac{3}{11}$ .

Answer 1

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\sqrt{{a}^{2}+10ab+25{b}^{2}}$ .

Короткий ход решения

Представляем многочлен как полный квадрат, извлекаем корень через модуль и подставляем значения. После упрощения получаем $\sqrt{a^{2} + 10 a b + 25 b^{2}}$ . Значение выражения — $9$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\sqrt{{a}^{2}+10ab+25{b}^{2}}$
Значение a: $a=\dfrac{84}{11}$
Значение b: $b=\dfrac{3}{11}$
Способ решения: Представляем многочлен как полный квадрат, извлекаем корень через модуль и подставляем значения.

1. Узнаём полный квадрат под корнем

Первое слагаемое — квадрат $a$ , последнее — квадрат $5b$ , а среднее — их удвоенное произведение со знаком плюс.

{(a)}^{2}

=a^{2}

2(a)(5b)

=10 a b

{(5b)}^{2}

=25 b^{2}

{a}^{2}

+10ab

+25{b}^{2}

={(a+5b)}^{2}

Значит, всё подкоренное выражение равно квадрату $a+5b$ . Коэффициенты 1 и 5 взяты из квадратов первого и последнего слагаемых.

2. Правильно извлекаем корень

Корень из квадрата $a+5b$ равен модулю $a+5b$ . Модуль нужен, потому что выражение внутри может оказаться отрицательным.

\sqrt{{a}^{2}+10ab+25{b}^{2}}

=\sqrt{{(a+5b)}^{2}}

=|a+5b|

Сначала найдём значение выражения внутри модуля; только затем решим, как раскрыть модуль.

3. Переводим смешанное число в дробь

Значение a записано смешанным числом: 7 целых и $\dfrac{7}{11}$ . Целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель дробной части.

7

+\frac{7}{11}

=\frac{7\cdot11+7}{11}

=\frac{84}{11}

Получаем $\dfrac{84}{11}$ . Знаменатель 11 сохраняется.

4. Подставляем значения и выполняем действия

Вместо a подставляем $\dfrac{84}{11}$ , вместо b — $\dfrac{3}{11}$ . Сначала умножаем на коэффициенты 1 и 5, затем складываем результаты.

a

+5b

=1(\frac{84}{11})

+5(\frac{3}{11})

=\frac{84}{11}

+(\frac{15}{11})

\frac{84}{11}

+(\frac{15}{11})

=\frac{84+(15)}{11}

=9

Для дробей используем общий знаменатель 11. Числители складываются с учётом знаков.

5. Раскрываем модуль

Внутри модуля получилось $9$ . Число неотрицательно, поэтому модуль его не меняет.

\sqrt{{a}^{2}+10ab+25{b}^{2}}

=|9|

=9

Это согласуется с определением: арифметический квадратный корень не бывает отрицательным.

6. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

9

Записываем только число: 9. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Answer 2

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\sqrt{{a}^{2}+10ab+25{b}^{2}}$ .

Answer 3

Короткий ход решения

Представляем многочлен как полный квадрат, извлекаем корень через модуль и подставляем значения. После упрощения получаем $\sqrt{a^{2} + 10 a b + 25 b^{2}}$ . Значение выражения — $9$ .

Answer 4

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Answer 5

Исходное выражение

\sqrt{{a}^{2}+10ab+25{b}^{2}}

Значение a

a=\dfrac{84}{11}

Значение b

b=\dfrac{3}{11}

Способ решения

Представляем многочлен как полный квадрат, извлекаем корень через модуль и подставляем значения.

Answer 6

1. Узнаём полный квадрат под корнем

Первое слагаемое — квадрат $a$ , последнее — квадрат $5b$ , а среднее — их удвоенное произведение со знаком плюс.

{(a)}^{2}

=a^{2}

2(a)(5b)

=10 a b

{(5b)}^{2}

=25 b^{2}

{a}^{2}

+10ab

+25{b}^{2}

={(a+5b)}^{2}

Значит, всё подкоренное выражение равно квадрату $a+5b$ . Коэффициенты 1 и 5 взяты из квадратов первого и последнего слагаемых.

Answer 7

{(a)}^{2}

=a^{2}

2(a)(5b)

=10 a b

{(5b)}^{2}

=25 b^{2}

{a}^{2}

+10ab

+25{b}^{2}

={(a+5b)}^{2}

Answer 8

Значит, всё подкоренное выражение равно квадрату

a+5b

. Коэффициенты 1 и 5 взяты из квадратов первого и последнего слагаемых.

Answer 9

2. Правильно извлекаем корень

Корень из квадрата $a+5b$ равен модулю $a+5b$ . Модуль нужен, потому что выражение внутри может оказаться отрицательным.

\sqrt{{a}^{2}+10ab+25{b}^{2}}

=\sqrt{{(a+5b)}^{2}}

=|a+5b|

Сначала найдём значение выражения внутри модуля; только затем решим, как раскрыть модуль.

Answer 10

\sqrt{{a}^{2}+10ab+25{b}^{2}}

=\sqrt{{(a+5b)}^{2}}

=|a+5b|

Answer 11

Сначала найдём значение выражения внутри модуля; только затем решим, как раскрыть модуль.

Answer 12

3. Переводим смешанное число в дробь

Значение a записано смешанным числом: 7 целых и $\dfrac{7}{11}$ . Целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель дробной части.

7

+\frac{7}{11}

=\frac{7\cdot11+7}{11}

=\frac{84}{11}

Получаем $\dfrac{84}{11}$ . Знаменатель 11 сохраняется.

Answer 13

7

+\frac{7}{11}

=\frac{7\cdot11+7}{11}

=\frac{84}{11}

Answer 14

Получаем

\dfrac{84}{11}

. Знаменатель 11 сохраняется.

Answer 15

4. Подставляем значения и выполняем действия

Вместо a подставляем $\dfrac{84}{11}$ , вместо b — $\dfrac{3}{11}$ . Сначала умножаем на коэффициенты 1 и 5, затем складываем результаты.

a

+5b

=1(\frac{84}{11})

+5(\frac{3}{11})

=\frac{84}{11}

+(\frac{15}{11})

\frac{84}{11}

+(\frac{15}{11})

=\frac{84+(15)}{11}

=9

Для дробей используем общий знаменатель 11. Числители складываются с учётом знаков.

Answer 16

a

+5b

=1(\frac{84}{11})

+5(\frac{3}{11})

=\frac{84}{11}

+(\frac{15}{11})

\frac{84}{11}

+(\frac{15}{11})

=\frac{84+(15)}{11}

=9

Answer 17

Для дробей используем общий знаменатель 11. Числители складываются с учётом знаков.

Answer 18

5. Раскрываем модуль

Внутри модуля получилось $9$ . Число неотрицательно, поэтому модуль его не меняет.

\sqrt{{a}^{2}+10ab+25{b}^{2}}

=|9|

=9

Это согласуется с определением: арифметический квадратный корень не бывает отрицательным.

Answer 19

\sqrt{{a}^{2}+10ab+25{b}^{2}}

=|9|

=9

Answer 20

Это согласуется с определением: арифметический квадратный корень не бывает отрицательным.

Answer 21

6. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

9

Записываем только число: 9. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Answer 22

Записываем только число: 9. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Полный квадрат и модуль — √(a²+10ab+25b²) при a=7 7/11, b=(3)/(11)

Разбираем шаг за шагом

1. Узнаём полный квадрат под корнем

2. Правильно извлекаем корень

3. Переводим смешанное число в дробь

4. Подставляем значения и выполняем действия

5. Раскрываем модуль

6. Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Данные из условия	Результат
Исходное выражение	$\sqrt{{a}^{2}+10ab+25{b}^{2}}$
Упрощённое выражение	$\sqrt{a^{2} + 10 a b + 25 b^{2}}$
Точное значение для ответа	$9$