Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 94ADA8185 из 321

Произведение и частное корней — 4√(5)⋅3√(3)⋅√(15)

Найдите значение выражения 45⋅33⋅15.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 94ADA8.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 180.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения 45⋅33⋅154\sqrt{5}\cdot3\sqrt{3}\cdot\sqrt{15}.

Короткий ход решения

Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение. Значение выражения — 180180.

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение
45⋅33⋅154\sqrt{5}\cdot3\sqrt{3}\cdot\sqrt{15}
Способ решения
Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.

1. Группируем обычные множители и корни

Числа 4 и 3 находятся перед корнями. Перемножим их отдельно; подкоренные числа 5, 3 и 15 объединим под одним корнем.

454\sqrt{5}⋅33\cdot3\sqrt{3}⋅15\cdot\sqrt{15}=4=4⋅3\cdot3⋅5⋅3⋅15\cdot\sqrt{5\cdot3\cdot15}
44⋅3\cdot3=12=12

При перестановке множителей произведение не меняется. Коэффициенты перед корнями нельзя потерять.

2. Вычисляем подкоренное произведение

Перемножаем подкоренные числа последовательно.

55⋅3\cdot3=15=15
1515⋅15\cdot15=225=225
454\sqrt{5}⋅33\cdot3\sqrt{3}⋅15\cdot\sqrt{15}=12=12⋅225\cdot\sqrt{225}

Перед корнем остаётся множитель 12.

3. Находим полный квадрат без угадывания

Чтобы понять, откуда берётся корень из 225, последовательно делим это число на простые множители. В конце получаем 1, поэтому все множители учтены.

225:3225:3=75=75
75:375:3=25=25
25:525:5=5=5
5:55:5=1=1
225225=32={3}^{2}⋅52\cdot{5}^{2}=(3⋅5)2={(3\cdot5)}^{2}
33⋅5\cdot5=15=15

Каждый простой множитель встретился чётное число раз. Из каждой пары одинаковых множителей один выходит из-под корня; их произведение и даёт искомое число.

4. Извлекаем корень и завершаем вычисление

Число 15 неотрицательно, и его квадрат равен 225. Поэтому корень равен 15.

152{15}^{2}=15=15⋅15\cdot15=225=225
225\sqrt{225}=15=15
454\sqrt{5}⋅33\cdot3\sqrt{3}⋅15\cdot\sqrt{15}=12=12⋅15\cdot15=180=180

Проверка возведением в квадрат объясняет, откуда появилось значение корня.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

180180

Записываем только число: 180. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условияРезультат
Исходное выражение45⋅33⋅154\sqrt{5}\cdot3\sqrt{3}\cdot\sqrt{15}
Упрощённое выражение180180
Точное значение для ответа180180

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.
  2. Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
  3. Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
  4. Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований
  • Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
  • Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
  • Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
  • Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
  • Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.
Все задания №8 (321)